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Gleichmäßige Konvergenz

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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1794
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 17:54:   Beitrag drucken

Hallo :-)

Habe mal eine Frage zur gleichmäßigen Konvergenz. Es sei eine Funktion f:D->IR gegeben(D ein Intervall). Weiter existiere auf D eine Folge (fn) von Treppenfunktionen, die gegen f gleichmäßig konvergiert.
Konvergiert dann für p>1 auch die Folge (fnp) gleichmäßig gegen fp?
Wenn ja, wie beweise ich das am besten?

MfG
Christian
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 562
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:33:   Beitrag drucken

Hi Christian,

das hängt ja an der Beschränktheit von f und die sehe ich nicht gewährleistet. Nimm z.B. als f die entier-Funktion und als fn die f-1/n, dann gehen die fn zweifelsfrei gleichmäßig gegen f, aber in den Differenzen der f^p und fn^p tauchen Potenzen von f auf, d.h. für D=R ist die Gleichmäßigkeit hops.

sotux
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1795
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:37:   Beitrag drucken

Hallo sotux

Du hast recht. Dann werde ich meine Frage mal ein wenig abändern :-)
Wie sieht es aus, wenn f beschränkt ist und D ein abgeschlossenes Intervall?

MfG
Christian
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 564
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:51:   Beitrag drucken

Hi,

dann sieht es gut aus da man dann die Differenzen im Griff hat:

fn^p-f^p ist etwa (fn-f)*p*f^(p-1) und für die hinteren Faktoren findest du bequem passendes C aus der Schranke von |f|.

sotux

(Beitrag nachträglich am 12., April. 2005 von sotux editiert)
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1796
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 21:53:   Beitrag drucken

Hi Sotux

Wie komme ich auf die Abschätzung
fn^p-f^p ist etwa (fn-f)*p*f^(p-1) ?

Der Rest wäre dann klar.

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1754
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 13:14:   Beitrag drucken

Hi Christian,

ich habe mal nachgerechnet, und ich kann mir nur folgendes erklären:

(fn p-f p)=(fn-f)*Sp-1 k=0(fn (p-k-1)*f k)

Dann hat Sotux fn=f gesetzt(wahrscheinlich), und man hat:

(fn-f)*f (p-1)*Sp-1 k=0 1

Die Summe hat p Summanden, sokam ich auf Sotux Ergebniss, als ich eben nachgerechent habe...
Wundere mich nur ob man so einfach fn=f setzen darf...

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1797
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 14:37:   Beitrag drucken

Hi Ferdi :-)

Ok, das leuchtet mir ein. Allerdings gilt die erste Zerlegung nur für natürliche p, ich bräuchte aber einen Beweis für reelle p>1.
Einfach fn=f setzen darf man sicher nicht, deshalb hat Sotux auch "etwa" geschrieben. Aber die fn kommen ja beliebig nah an f heran und wegen der Beschränktheit von f lässt sich damit auch eine gemeinsame obere Schranke für alle fn und f finden. Dann hat man die Abschätzung
fnp-fp£(fn-f)*p*Cp-1, was ja für die gleichmäßige Konvergenz ausreicht.

MfG
Christian
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 566
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 20:50:   Beitrag drucken

Hi,

ich habe den Differenzenquotienten gebildet für g(x)=x^p:
g(x+d)-g(x) ist für kleine d etwa g'(x)*d=d*p*x^(p-1)

sotux
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1798
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 14:52:   Beitrag drucken

Hallo Sotux

Habe immer noch Probleme den Beweis zu führen. Das Problem liegt an dem "für kleine d". Was oben steht heißt ja, dass es für jedes e>0 ein d>0 gibt, sodass
|(g(x+d)-g(x))/d-p*xp-1|<e bzw.
|g(x+d)-g(x)|<e|d|+p*|d|*|x|p-1
Das Problem an der ganzen Sache ist, dass d nicht nur von e abhängt, sondern auch von x. Ich bräuchte noch einen Beweis dafür, dass es für alle x aus einem Intervall [0,C] ein gemeinsames d gibt, sodass obige Ungleichung erfüllt ist.

MfG
Christian
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1799
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 17:06:   Beitrag drucken

Hallo nochmal

Ich habe eben einen Beweis gefunden, der meinen Fall von oben als Spezialfall beinhaltet.
Eine Funktion f:[a,b]->IR , die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt, heißt Regelfunktionen.
Nun gilt der Satz:
f ist Regelfunktion <=>
Für alle x0 aus dem Inneren von [a,b] existieren die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte, d.h. lim(x->x0+) f(x) und lim(x->x0-) f(x). In den Randpunkten sollen entsprechend die einseitigen Grenzwerte existieren.

Aus dem Satz folgt recht trivial, dass fp eine Regelfunktion ist, wenn f selbst eine ist (xp ist stetig).

MfG
Christian
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 567
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 22:55:   Beitrag drucken

Hi Christian,

deine Sorgen wegen d sind unnötig: Du hast die Voraussetzung, dass fn -> f gleichmäßig auf D, also findest du zu jedem eps>0 ein N mit |fn-f|<eps auf D für alle n>N. Jetzt ist g ja sehr gutartig, also ist
g(fn)-g(f)=g'(f0)*(fn-f) mit einem f0 aus der Gegend von fn und f, für jedes x aus D. Da f beschränkt ist kannst du eine Schranke C>0 finden, so dass |g(fn)-g(f)|<C*|fn-f|<C*eps für alle n>N.
Der Unterschied zwischen f und f0 kann man mit einem geringfügig größerem C als der Schranke von |f| berücksichtigen.

sotux
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1802
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 15. April, 2005 - 14:04:   Beitrag drucken

Hi Sotux

Vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt ist es mir klar, hatte nur nicht an den Mittelwertsatz gedacht :-)

MfG
Christian

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