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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1794 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 17:54: |
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Hallo Habe mal eine Frage zur gleichmäßigen Konvergenz. Es sei eine Funktion f:D->IR gegeben(D ein Intervall). Weiter existiere auf D eine Folge (fn) von Treppenfunktionen, die gegen f gleichmäßig konvergiert. Konvergiert dann für p>1 auch die Folge (fnp) gleichmäßig gegen fp? Wenn ja, wie beweise ich das am besten? MfG Christian |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 562 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:33: |
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Hi Christian, das hängt ja an der Beschränktheit von f und die sehe ich nicht gewährleistet. Nimm z.B. als f die entier-Funktion und als fn die f-1/n, dann gehen die fn zweifelsfrei gleichmäßig gegen f, aber in den Differenzen der f^p und fn^p tauchen Potenzen von f auf, d.h. für D=R ist die Gleichmäßigkeit hops. sotux |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1795 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:37: |
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Hallo sotux Du hast recht. Dann werde ich meine Frage mal ein wenig abändern Wie sieht es aus, wenn f beschränkt ist und D ein abgeschlossenes Intervall? MfG Christian |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 564 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:51: |
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Hi, dann sieht es gut aus da man dann die Differenzen im Griff hat: fn^p-f^p ist etwa (fn-f)*p*f^(p-1) und für die hinteren Faktoren findest du bequem passendes C aus der Schranke von |f|. sotux (Beitrag nachträglich am 12., April. 2005 von sotux editiert) |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1796 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 21:53: |
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Hi Sotux Wie komme ich auf die Abschätzung fn^p-f^p ist etwa (fn-f)*p*f^(p-1) ? Der Rest wäre dann klar. MfG Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1754 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 13:14: |
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Hi Christian, ich habe mal nachgerechnet, und ich kann mir nur folgendes erklären: (fn p-f p)=(fn-f)*Sp-1 k=0(fn (p-k-1)*f k) Dann hat Sotux fn=f gesetzt(wahrscheinlich), und man hat: (fn-f)*f (p-1)*Sp-1 k=0 1 Die Summe hat p Summanden, sokam ich auf Sotux Ergebniss, als ich eben nachgerechent habe... Wundere mich nur ob man so einfach fn=f setzen darf... mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1797 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 14:37: |
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Hi Ferdi Ok, das leuchtet mir ein. Allerdings gilt die erste Zerlegung nur für natürliche p, ich bräuchte aber einen Beweis für reelle p>1. Einfach fn=f setzen darf man sicher nicht, deshalb hat Sotux auch "etwa" geschrieben. Aber die fn kommen ja beliebig nah an f heran und wegen der Beschränktheit von f lässt sich damit auch eine gemeinsame obere Schranke für alle fn und f finden. Dann hat man die Abschätzung fnp-fp£(fn-f)*p*Cp-1, was ja für die gleichmäßige Konvergenz ausreicht. MfG Christian |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 566 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 20:50: |
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Hi, ich habe den Differenzenquotienten gebildet für g(x)=x^p: g(x+d)-g(x) ist für kleine d etwa g'(x)*d=d*p*x^(p-1) sotux |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1798 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 14:52: |
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Hallo Sotux Habe immer noch Probleme den Beweis zu führen. Das Problem liegt an dem "für kleine d". Was oben steht heißt ja, dass es für jedes e>0 ein d>0 gibt, sodass |(g(x+d)-g(x))/d-p*xp-1|<e bzw. |g(x+d)-g(x)|<e|d|+p*|d|*|x|p-1 Das Problem an der ganzen Sache ist, dass d nicht nur von e abhängt, sondern auch von x. Ich bräuchte noch einen Beweis dafür, dass es für alle x aus einem Intervall [0,C] ein gemeinsames d gibt, sodass obige Ungleichung erfüllt ist. MfG Christian |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1799 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 17:06: |
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Hallo nochmal Ich habe eben einen Beweis gefunden, der meinen Fall von oben als Spezialfall beinhaltet. Eine Funktion f:[a,b]->IR , die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt, heißt Regelfunktionen. Nun gilt der Satz: f ist Regelfunktion <=> Für alle x0 aus dem Inneren von [a,b] existieren die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte, d.h. lim(x->x0+) f(x) und lim(x->x0-) f(x). In den Randpunkten sollen entsprechend die einseitigen Grenzwerte existieren. Aus dem Satz folgt recht trivial, dass fp eine Regelfunktion ist, wenn f selbst eine ist (xp ist stetig). MfG Christian |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 567 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 22:55: |
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Hi Christian, deine Sorgen wegen d sind unnötig: Du hast die Voraussetzung, dass fn -> f gleichmäßig auf D, also findest du zu jedem eps>0 ein N mit |fn-f|<eps auf D für alle n>N. Jetzt ist g ja sehr gutartig, also ist g(fn)-g(f)=g'(f0)*(fn-f) mit einem f0 aus der Gegend von fn und f, für jedes x aus D. Da f beschränkt ist kannst du eine Schranke C>0 finden, so dass |g(fn)-g(f)|<C*|fn-f|<C*eps für alle n>N. Der Unterschied zwischen f und f0 kann man mit einem geringfügig größerem C als der Schranke von |f| berücksichtigen. sotux |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1802 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 15. April, 2005 - 14:04: |
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Hi Sotux Vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt ist es mir klar, hatte nur nicht an den Mittelwertsatz gedacht MfG Christian |