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Danielos (Danielos)
Neues Mitglied
Benutzername: Danielos
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 22:28: | 
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Hallo allerseits!!!
Hätte 2 Fragen in Zt. Wäre sehr dankbar, wenn ihr mir helft:
(1)
Man zeige ohne Ausnutzung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, dass es keine positiven ganzen Zahlen a und b geben kann, die die Gleichung a*a = 2*b*b erfüllen. Man überlege sich zunächst, dass das Produkt zweier ungerade Zahlen nicht durch 2 teilbar ist.
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Zuerst habe ich die Gleichung umgestellt zu
a/b = 2b/a
Dann hab ich ne Fallunterscheifung gemacht:
1.Fall a=b
1 = 2 also nicht möglich
2.Fall a<b
a/b liegt zwischen 0 und 1, 2b/a allerdings ist grösser als 1 also auch unmöglich
3. Fall a>b
analog zu 2.fall
meine frage hierbei ist allerdings, warum man sich überlegen soll, dass das Produkt zweier ungeraden Zahlen stets ungerade ist bzw. dass man annehmen kann das eine der beiden Zahlen nicht durch 2 teilbar ist. Darauf bin ich ja gar nicht eingegangen.
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(2)
Ist n eine natürliche Zahl und sind a0,a1,..... element (0,...,9) die Ziffern von n in der Dezimalschreibweise, also n = a0+ a1*10 + a2*10^2+...,so nennt man a0+a1+.... die Quersumme von n.
(i)
Man zeigt, dass eine natürliche Zahl n genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch drei teilbar ist.
(ii)
Sei n= a0+ a1*10 + a2*10^2+... wie oben. Man zeige, dass genau dann n durch 11 teilbar ist, wenn die alternierende Quersumme a0-a1+a2-a3+/-... durch 11 teilbar ist. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1369
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 07:53: |
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Hallo!
2.
(i)
Man zeigt dies mittels Kongruenzen.
10 ist kongruent 1 modulo 3, desgleichen 100, 1000, usw.
Die Zahl wird in ihren Ziffern angeschrieben:
n = a0 + 10*a1 + 100*a2 + 1000*a3 + ...
Nun ist 10 (=) 1(3), 100 (=) 1(3), ...
somit n (=) a1 + a2 + a3 + .. (3), also ist n genau dann durch 3 teilbar, wenn die Ziffernsumme (Quersumme) durch 3 teilbar ist. Übrigens gilt die gleiche Regel auch für die Teilbarkeit durch 9!
(ii)
Für die Teilbarkeit durch 11 überlegt man sich ähnlich, dass
10 (=) -1(11), 100 (=) 1(11), 1000 (=) -1(11), ...
Gr
mYthos |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 993
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 08:58: |
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Danielos,
(i) Deine Schlussweise versagt leider im Fall a>b !
Nimm an, es gebe ein Paar (a,b) natürlicher Zahlen
sodass
(1) a2 = 2 b2.
Jede nicht-leere Menge natürlicher Zahlen enthält
eine kleinste Zahl (sog. Wohlordnungseigenschaft)
a sei die kleinste Zahl, sodass (1) gilt.
Wäre a ungerade, a = 2k+1, so folgte aus (1)
1 = 2(b2-2k-2k2) : Widerspruch !
Also a = 2 a' => b2 = 2 a'2. Analog schliesst man, dass b gerade, b = 2b' =>
(2) a'2 = 2 b'2.
Offenbar ist a'<a . (2) steht damit im Widerspruch
zur Minimalität von a.
mfG Orion
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Danielos (Danielos)
Neues Mitglied
Benutzername: Danielos
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2005
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. April, 2005 - 18:33: |
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vielen dank orion und mythos, ich glaub ich habs verstanden. |
Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 129
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 09:11: |
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Hallo,
wie waere es mit folgendem Beweis:
a^2 = 2b^2
=> a^2/b^2 = 2
=> a/b = wurzel(2)
=> Wid., da wurzel(2) irrational |
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