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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 92 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 07:13: |
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Guten Morgen! Ich suche einen schönen Beweis dafür: In einem allgemeinen Dreieck ABC wird in positiver Umlaufrichtung jede Seite auf das Doppelte verlängert. Man erhält das Dreieck DEF. Zeige ohne analytische Geometrie, dass sich die Flächeninhalte der Dreiecke ABC und DEF wie 1:7 verhalten! Herzliche Grüße elsa |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2699 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 07:27: |
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??? auf dem Ziffernblock der Tastatur eine Reihe zu "hoch" gegriffen? Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 983 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 07:43: |
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elsa, Der Inhalt von ABC sei mit J und die Seiten wie üblich mit a,b,c bezeichnet. Betrachte nun das Dreieck AEF. Dort gilt nach Konstruktion |AE| = b und |AF| = 2c, daher Höhe(AEF) = 2*Höhe(ABC) => Inhalt(AEB) = 2J. Dasselbe gilt für die Dreiecke BFD und CDE. Somit Inhalt(EFD) = 7 J. mfG Orion
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 93 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 08:51: |
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@ Fritz: was meinst Du damit? @ orion: Ich komme leider nicht ganz mit, vielleicht hängt es an den unterschiedlichen Bezeichnungen. Ich habe meine Skizze so gemacht: Das Dreieck ABC liegt liegt auf der horizontalen Seite AB. Die Seite AB nach rechts um das Doppelte verlängert ergibt den Eckpunkt D, BC nach oben um das Doppelte verlängert gibt E, CA nach links unten verlängert ergibt F. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2701 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 08:57: |
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sorry, jetzt hab ichs auch begriffen - ohne erst Orions Posting zu studieren - jedes der angefügten 3ecke hat die doppelte Fläche des Originals ABC
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 94 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 09:41: |
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Eine Skizze ist natürlich das Beste! Danke Fritz und danke an Orion! Dass die Höhe doppelt so groß ist, erkennt man wohl mit dem Strahlensatz. Nun hätte ich noch gerne einen schönen trigonometrischen Beweis...;-) Gruß von elsa |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2702 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 10:44: |
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@Elsa: bei meinem 1tem Posting war mein Missverständnis daß ich meinte es sei einfach ein 3eck mit doppelten Seitenlängen gemeint - desse Fläche dann 4fach wäre ( und auf dem Ziffernblock liegt die 7 eine Reihe über der 4 ) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 95 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 10:55: |
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Fritz, ein interessantes unbeabsichtigtes Nebenergebnis! Tatsächlich! Die Überschrift war etwas irreführend, auch unbeabsichtigt! ;-) herzliche Grüße elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4866 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 12:44: |
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Hi elsa Der Nachweis mit Trigonometrie ist ebenso einfach wie derjenige mit Planimetrie. Wiederum sind die drei Aussendreiecke und das gegebene zentrale Dreieck einzeln zu betrachten (scharf hinsehen!). Zum Abschluss rechne dann wieder 2 + 2 + 2 + 1 = 7 Für die trigonometrische Behandlung empfehle ich die Formel F = ½ Seite 1 * Seite 2 * sinus (Zwischenwinkel) Bei den Aussendreiecken kommen die Supplementärwinkel der Dreieckswinkel zum Zug. Ist alpha* = 180° - alpha, so gilt für die sinus: sin (alpha*) = sin(alpha) Keine Änderung! Dafür ist eine Seite doppelt so lang geworden! und so weiter und so fort. Liebe Grüße nach Wien H.R.Moser,megamath |
elsa13
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 13:30: |
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Danke und liebe Grüße aus Wien! Ich hatte gehofft, es gäbe da noch einen ganz besonderen Beweis, aber dem ist wohl nicht so. elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4867 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:33: |
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Hi allerseits Damit die Aufgabe etwas anspruchsvoller wird, gebe ich die folgende kleine Zusatzaufgabe; sie stammt von mir selbst, und ich suche nach Beweisen; auch trigonometrische sind willkommen. Damit wir alle dasselbe meinen: Als Grundlage dient die von Friedrich hergestellte ausgezeichnete Figur. Dreieck ABC im Kern, Seiten a,b,c wie üblich. Dreieck LMN, Gegenüberliegende Seiten je l, m, n. Verbindung beider: Die Gerade AB geht durch N, BC durch L, CA durch M Man beweise die Gültigkeit der Relationen a) l^2 + m^2+ n^2 = 7 * (a^2 + b^2 + c^2) schon wieder die Sieben, hihi b) m^2 = 6 a^2 – 2 b^2 + 3 c^2 Viel Erfolg bei der Suche nach Lösungen Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2709 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 07:07: |
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noch ne Zusatzaufgabe. Die Konstruktion von DEF aus ABC ist ja einfach aber gibt's auch ein elegante Umkehrung? (ausser der im Anhang des nächsten Beitrags) (Beitrag nachträglich am 12., März. 2005 von friedrichlaher editiert) (Beitrag nachträglich am 12., März. 2005 von friedrichlaher editiert) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2710 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 07:15: |
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Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 96 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 07:15: |
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Hallo Fritz, ich habe schon Schwierigkeiten, L, M, N zeichnerisch zu lokalisieren, aber wo kommt nun D her??? elsa |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2711 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 07:47: |
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Hat nichts mit Megamaths Aufgaben zu tun, ich spreche von der Originalaufgabe: DA = AC, D auf der Verlängerung von CA "nach unten" EB = BA, E auf der Verlängerung von AB "nach rechts" FC = CB, F auf der Verlängerung von BC "nach oben" Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 97 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 07:55: |
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...in der "Originalaufgabe" waren die Bezeichnungen anders: AB=BD und so weiter... |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2712 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 09:15: |
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o, sorry; Namen sind ...; fand es, anhand meiner Skizze, irgenwie sinnfälliger. Aber klar ist es ja jetz(?) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 986 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 15:22: |
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Megamath, Vorschlag (Uebung in Vektorrechnung): Die Ortsvektoren der Punkte A,B,C,L,M,N werden selbest wieder mit A,B,C,L,M,N bezeichnet, ferner soll (Z) bedeuten: "2 weitere entsprechende Relationen durch zyklische Vertauschung". Es sei a := C-B , b := A-C , c := B-A, l := N-M, m := L-N , n := M-L. Dann gilt also |a| = a , |l| = l (Z), und nach Konstruktion L = B + 2a (Z) => l = - b + 2c (Z) => l2 = l2 = b2 + 4c2 - 8 bc Aus a+b+c = 0 folgt aber bc = (1/2)(a2-b2-c2) (Z) und damit b) l2 = - 2a2 + 3b2 + 6c2 (Z) Durch Addition der 3 Relationen b) erhält man a). mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4868 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 15:54: |
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Hi allerseits Mit der Umbenennung der Ecken des Dreiecks, das mit dem beschriebene Verfahren aus dem Dreieck ABC entsteht, wollte ich nicht Verwirrung stiften, trotzdem ist das Missverständnis offenbar da. Daher versuche ich, das Dreieck mit den Ecken LMN noch einmal zu beschreiben. Grundlage:Figur von Friedrich Die Seite AB wird um ihre Länge c nach rechts (nach 3 Uhr) verlängert, Endpunkt N Die Seite BC wird um ihre Länge a nach links oben (nach 10 Uhr ) verlängert, Endpunkt L Die Seite CA wird um ihre Länge b nach links unten (nach 8 Uhr) verlängert, Endpunkt M wie Megamath! Seitenlängen MN = l; NL = m ; LM = n. Beachte: es gilt die zyklische Vertauschung! Eine Anregung: Man zeichne den Spezialfall des rechtwinkligen Dreiecks ABC mit BC = a = 3; CA = b = 4 ; AB = c = 5 und überprüfe die Relationen. Resultate ohne Gewähr: l^2 = 180; m^2 = 97 ; n^2 = 73. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4869 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 16:05: |
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Hi Orion Danke für die Herleitung! Eine lehrreiche Uebung in Vektorrechnung. Ich werde noch einen trigonometrischen Beweis nachliefern:Einsatz des Cosinussatzes,klar. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4870 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 18:02: |
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Hi allerseits Es folgt die Herleitung der kleinen Satzes b) von mm mit Hilfe des Cosinussatzes: im Dreieck BLN gilt: m^2 =(2a)^2 + c^2 – 2 * (2a) * c * cos (beta*) mit b* = 180° - beta, also m^2 =4 a^2+ c^2 + 4 a c cos (beta)……………(1) im Dreieck ABC gilt: b^2 =a^2 + c^2 – 2 * a * c * cos (beta) somit 2 b^2= 2a^2+ 2c^2 – 4*a*c*cos (beta) ……..(2) Addiert man (1) und(2),so ist man am Ziel. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megaamth |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4875 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 14:22: |
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Hi allerseits @ Friedrich Du hattest eine Zusatzaufgabe vorgeschlagen, die wir wieder beleben sollten. Dazu ist eine Präzisierung nötig. Die neue Aufgabe laute mit den früheren Bezeichnungen: Gegeben ist das Dreieck LMN (Astraldreieck). Man konstruiere das Originaldreieck ABC, von dem man das Seitenverhältnis a : b : c (nicht die Seiten selbst) kennt, nach Lage und Größe. Man bearbeite das numerische Beispiel Seite l = MN = sqrt(180) ~ 13,42 Seite m = NL = sqrt(97) ~ 9,85 Seite n = LM = sqrt(73) ~ 8,54 a:b:c = 3:4:5 Hinweis : Vom Dreieck ABC kennt man die Winkel, hier insbesondere den Winkel gamma bei C,nämlich gamma = 90°. Wink: Konstruiere zuerst die Ecke C des Dreiecks ABC Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2720 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 15:17: |
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@Megamath: danke, das Du darauf eingehst. Wenn ich "Konstruktion" schrieb meinte ich auch wirklich Konstruktion mit "Zirkel und Lineal"; da mir nichts intelligenteres einfiel löste ich ein Vektorgleichunsystem mit den 3 Unbekannten Orstvektoren A,B,C . Wenn man der Einfachheithalber A = 0 annnimmt ergab sich daraus die relativ einfache ( 7telung der Seiten ) Konstruktion
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4876 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 15:59: |
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Bravo Friedrich;grossartig! MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4877 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 16:00: |
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Hi Friedrich Ich meinte die folgende Konstruktion (auch mit Z & L): Ich fasse die Seite ML ins Auge! Diese Strecke ist Durchmesser eines Thaleskreises kT. Über derselben Strecke errichte ich den Apolloniuskreis kA für das Verhältnis LC : MC = 3 : 8 Die beiden Kreise schneiden sich in C im Inneren des Dreiecks LMN ; und so weiter und so fort. Ist das hoffentlich richtig so? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2722 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 17:32: |
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@Megamath: mh, für diesen Spezialfall ja. Ich habe Eure Diskussion ( absichtlich ) nicht mitverfolgt kann also nicht beurteilen ob sich Winkel LCM und das Verhältnis LC : MC immer leicht konstruierbar aus l,m.n bestimmen lassen. Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2724 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 08:01: |
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Hier noch eine, der 1ten recht ähnliche Konstruktion, die aber nicht auf Vektorrechnung beruht, sondern auf der Flächenforderung der ursprünglichen ( Idee kam mir in Badewanne ) Aufgabe Elsa's beruht. Beschreibung im .txt Anhang, Datei für KSEG im .seg Anhang
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4885 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 14:18: |
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Hi Friedrich Besten Dank für Deine Lösung der interessanten Umkehraufgabe und für die eindrücklichen Bilder dazu. Anmerkungen zum Thema. Alle diese Fragen und Antworten gehören allerdings nicht in die Sparte Universität, sondern tangieren die elementare Planimetrie, die - wir wissen es - auch sehr anspruchsvoll sein kann und keinesfalls vernachlässig werden darf, mögen die Themen noch so ausgefallen erscheinen. Zur Umkehraufgabe: Nach meiner Ansicht lässt sich die von Dir zur Diskussion gestellte Umkehraufgabe auch im allgemeinen Fall mit Apollonius lösen; an Stelle des Thaleskreises kommt ein Fasskreisbogen zum Zug, gemäß des Peripheriewinkelsatzes. Dabei kommen die Winkel des Dreiecks ABC (nichtdes Dreiecks LMN) zum Einsatz, die ja durch die Beziehung a:b:c gegeben sind. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2726 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 17:06: |
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Hi Megamath, was die Plazierung des Themas betriff würde es wohl zu "Lehramt" passen(?) . leider sehe ich nun auch nach durchgehen des Bisherigen nicht wie man aus l,m,n einfach konstruierbar auf die Winkel von ABC kommt. Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4887 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 17:32: |
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Hi Friedrich Da liegt ein Missverständnis vor,wie so oft im Leben. Ich habe früher einmal vorgeschlagen, vom Dreieck ABC die Winkel zu geben, indem ich das Seitenverhältnis vorschreibe Auf grund der Aehnlichkeit können die Winkel alpha,beta ,gamma aus a:b:c konstruiert werden. Vorschlag: wir brechen das Thema ab,da das Interesse andernorts nicht gross zu sein scheint,hihi MfG H.R.Modser |