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Dreieck mit doppelt so langen Seiten

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Dreieck mit doppelt so langen Seiten « Zurück Vor »

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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 92
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 07:13:   Beitrag drucken

Guten Morgen!

Ich suche einen schönen Beweis dafür:

In einem allgemeinen Dreieck ABC wird in positiver Umlaufrichtung jede Seite
auf das Doppelte verlängert. Man erhält das Dreieck DEF.
Zeige ohne analytische Geometrie, dass sich die Flächeninhalte der Dreiecke
ABC und DEF wie 1:7 verhalten!


Herzliche Grüße
elsa
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2699
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 07:27:   Beitrag drucken

???
auf dem Ziffernblock der Tastatur eine Reihe zu "hoch" gegriffen?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 983
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 07:43:   Beitrag drucken

elsa,

Der Inhalt von ABC sei mit J und die Seiten wie üblich mit a,b,c bezeichnet. Betrachte nun das Dreieck AEF. Dort gilt nach Konstruktion |AE| = b und
|AF| = 2c, daher Höhe(AEF) = 2*Höhe(ABC) =>

Inhalt(AEB) = 2J. Dasselbe gilt für die Dreiecke BFD und CDE. Somit

Inhalt(EFD) = 7 J.
mfG Orion
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 08:51:   Beitrag drucken

@ Fritz:
was meinst Du damit?
@ orion:
Ich komme leider nicht ganz mit, vielleicht hängt es an den unterschiedlichen Bezeichnungen.
Ich habe meine Skizze so gemacht:
Das Dreieck ABC liegt liegt auf der horizontalen Seite AB.
Die Seite AB nach rechts um das Doppelte verlängert ergibt den Eckpunkt D,
BC nach oben um das Doppelte verlängert gibt E,
CA nach links unten verlängert ergibt F.
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2701
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 08:57:   Beitrag drucken

sorry, jetzt hab ichs auch begriffen - ohne erst
Orions Posting zu studieren - jedes der angefügten
3ecke hat die doppelte Fläche des Originals ABC
3eck
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 94
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 09:41:   Beitrag drucken

Eine Skizze ist natürlich das Beste!
Danke Fritz und danke an Orion!
Dass die Höhe doppelt so groß ist, erkennt man wohl mit dem Strahlensatz.

Nun hätte ich noch gerne einen schönen trigonometrischen Beweis...;-)

Gruß von elsa
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2702
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 10:44:   Beitrag drucken

@Elsa:
bei meinem 1tem Posting war mein Missverständnis daß ich meinte es sei einfach ein 3eck mit doppelten Seitenlängen gemeint - desse Fläche dann 4fach wäre
( und auf dem Ziffernblock liegt die 7 eine Reihe über der 4 )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 95
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 10:55:   Beitrag drucken

Fritz, ein interessantes unbeabsichtigtes Nebenergebnis! Tatsächlich!
Die Überschrift war etwas irreführend, auch unbeabsichtigt! ;-)

herzliche Grüße
elsa
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4866
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 12:44:   Beitrag drucken

Hi elsa

Der Nachweis mit Trigonometrie ist ebenso einfach
wie derjenige mit Planimetrie.
Wiederum sind die drei Aussendreiecke und das gegebene zentrale Dreieck einzeln zu betrachten (scharf hinsehen!).
Zum Abschluss rechne dann wieder 2 + 2 + 2 + 1 = 7

Für die trigonometrische Behandlung empfehle ich die Formel
F = ½ Seite 1 * Seite 2 * sinus (Zwischenwinkel)
Bei den Aussendreiecken kommen die
Supplementärwinkel der Dreieckswinkel zum Zug.
Ist alpha* = 180° - alpha, so gilt für die sinus:
sin (alpha*) = sin(alpha)
Keine Änderung!
Dafür ist eine Seite doppelt so lang geworden!

und so weiter und so fort.


Liebe Grüße nach Wien
H.R.Moser,megamath
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elsa13
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 13:30:   Beitrag drucken

Danke und liebe Grüße aus Wien!

Ich hatte gehofft, es gäbe da noch einen ganz besonderen Beweis, aber dem ist wohl nicht so.

elsa
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4867
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:33:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Damit die Aufgabe etwas anspruchsvoller wird,
gebe ich die folgende kleine Zusatzaufgabe; sie stammt
von mir selbst, und ich suche nach Beweisen;
auch trigonometrische sind willkommen.

Damit wir alle dasselbe meinen:
Als Grundlage dient die von Friedrich hergestellte ausgezeichnete
Figur.
Dreieck ABC im Kern, Seiten a,b,c wie üblich.
Dreieck LMN, Gegenüberliegende Seiten je l, m, n.
Verbindung beider:
Die Gerade AB geht durch N, BC durch L, CA durch M
Man beweise die Gültigkeit der Relationen

a)
l^2 + m^2+ n^2 = 7 * (a^2 + b^2 + c^2)
schon wieder die Sieben, hihi
b)
m^2 = 6 a^2 – 2 b^2 + 3 c^2

Viel Erfolg bei der Suche nach Lösungen

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2709
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Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 07:07:   Beitrag drucken

:-) noch ne Zusatzaufgabe.
Die Konstruktion von DEF aus ABC ist ja einfach
aber gibt's auch ein elegante Umkehrung?
(ausser der im Anhang des nächsten Beitrags)
(Beitrag nachträglich am 12., März. 2005 von friedrichlaher editiert)

(Beitrag nachträglich am 12., März. 2005 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2710
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 07:15:   Beitrag drucken

text/plainplump
t.txt (0.2 k)

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
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Nummer des Beitrags: 96
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 07:15:   Beitrag drucken

Hallo Fritz,
ich habe schon Schwierigkeiten, L, M, N zeichnerisch zu lokalisieren, aber wo kommt nun D her???
elsa
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2711
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 07:47:   Beitrag drucken

Hat nichts mit Megamaths Aufgaben zu tun,
ich spreche von der Originalaufgabe:
DA = AC, D auf der Verlängerung von CA "nach unten"
EB = BA, E auf der Verlängerung von AB "nach rechts"
FC = CB, F auf der Verlängerung von BC "nach oben"
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 97
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 07:55:   Beitrag drucken

...in der "Originalaufgabe" waren die Bezeichnungen anders:
AB=BD und so weiter...
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2712
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 09:15:   Beitrag drucken

o, sorry; Namen sind ...;
fand es, anhand meiner Skizze, irgenwie sinnfälliger.
Aber klar ist es ja jetz(?)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 986
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 15:22:   Beitrag drucken

Megamath,

Vorschlag (Uebung in Vektorrechnung):

Die Ortsvektoren der Punkte A,B,C,L,M,N werden
selbest wieder mit A,B,C,L,M,N bezeichnet, ferner soll
(Z) bedeuten: "2 weitere entsprechende Relationen
durch zyklische Vertauschung".
Es sei

a := C-B , b := A-C , c := B-A,

l := N-M, m := L-N , n := M-L.

Dann gilt also |a| = a , |l| = l (Z), und nach Konstruktion

L = B + 2a (Z) =>

l = - b + 2c (Z) =>

l2 = l2 = b2 + 4c2 - 8 bc

Aus a+b+c = 0

folgt aber

bc = (1/2)(a2-b2-c2) (Z)

und damit

b) l2 = - 2a2 + 3b2 + 6c2 (Z)

Durch Addition der 3 Relationen b) erhält man a).
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4868
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 15:54:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Mit der Umbenennung der Ecken des Dreiecks, das mit dem beschriebene Verfahren aus dem Dreieck ABC entsteht, wollte ich nicht Verwirrung stiften, trotzdem ist das Missverständnis offenbar da.
Daher versuche ich, das Dreieck mit den Ecken LMN noch einmal zu beschreiben.
Grundlage:Figur von Friedrich

Die Seite AB wird um ihre Länge c nach rechts (nach 3 Uhr) verlängert, Endpunkt N
Die Seite BC wird um ihre Länge a nach links oben (nach 10 Uhr ) verlängert, Endpunkt L
Die Seite CA wird um ihre Länge b nach links unten (nach 8 Uhr) verlängert, Endpunkt M wie Megamath!
Seitenlängen
MN = l; NL = m ; LM = n.
Beachte: es gilt die zyklische Vertauschung!


Eine Anregung:
Man zeichne den Spezialfall des rechtwinkligen Dreiecks ABC mit
BC = a = 3; CA = b = 4 ; AB = c = 5
und überprüfe die Relationen.

Resultate ohne Gewähr:
l^2 = 180; m^2 = 97 ; n^2 = 73.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4869
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 16:05:   Beitrag drucken

Hi Orion



Danke für die Herleitung!
Eine lehrreiche Uebung in Vektorrechnung.

Ich werde noch einen trigonometrischen Beweis nachliefern:Einsatz des Cosinussatzes,klar.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4870
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 12. März, 2005 - 18:02:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es folgt die Herleitung der kleinen Satzes b) von mm mit Hilfe des Cosinussatzes:

im Dreieck BLN gilt:
m^2 =(2a)^2 + c^2 – 2 * (2a) * c * cos (beta*)
mit b* = 180° - beta,
also
m^2 =4 a^2+ c^2 + 4 a c cos (beta)……………(1)

im Dreieck ABC gilt:
b^2 =a^2 + c^2 – 2 * a * c * cos (beta)

somit
2 b^2= 2a^2+ 2c^2 – 4*a*c*cos (beta) ……..(2)

Addiert man (1) und(2),so ist man am Ziel.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megaamth
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4875
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 14:22:   Beitrag drucken

Hi allerseits



@ Friedrich

Du hattest eine Zusatzaufgabe vorgeschlagen, die wir wieder beleben sollten.
Dazu ist eine Präzisierung nötig.

Die neue Aufgabe laute mit den früheren Bezeichnungen:

Gegeben ist das Dreieck LMN (Astraldreieck).
Man konstruiere das Originaldreieck ABC, von
dem man das Seitenverhältnis a : b : c
(nicht die Seiten selbst) kennt, nach Lage und Größe.

Man bearbeite das numerische Beispiel
Seite l = MN = sqrt(180) ~ 13,42
Seite m = NL = sqrt(97) ~ 9,85
Seite n = LM = sqrt(73) ~ 8,54
a:b:c = 3:4:5

Hinweis :
Vom Dreieck ABC kennt man die Winkel, hier insbesondere den Winkel gamma bei C,nämlich
gamma = 90°.

Wink: Konstruiere zuerst die Ecke C des Dreiecks ABC


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2720
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 15:17:   Beitrag drucken

@Megamath:
danke, das Du darauf eingehst. Wenn ich
"Konstruktion" schrieb meinte ich auch wirklich
Konstruktion mit "Zirkel und Lineal"; da mir nichts
intelligenteres einfiel löste ich ein Vektorgleichunsystem mit den 3 Unbekannten Orstvektoren A,B,C . Wenn man der Einfachheithalber
A = 0 annnimmt ergab sich daraus die relativ
einfache ( 7telung der Seiten ) Konstruktion
konstruktion
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4876
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 15:59:   Beitrag drucken

Bravo Friedrich;grossartig!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4877
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 16:00:   Beitrag drucken

Hi Friedrich

Ich meinte die folgende Konstruktion
(auch mit Z & L):

Ich fasse die Seite ML ins Auge!
Diese Strecke ist Durchmesser eines Thaleskreises kT.
Über derselben Strecke errichte ich den Apolloniuskreis kA für das
Verhältnis LC : MC = 3 : 8
Die beiden Kreise schneiden sich in C im Inneren des Dreiecks LMN ; und so weiter und so fort.
Ist das hoffentlich richtig so?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2722
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 17:32:   Beitrag drucken

@Megamath:
mh, für diesen Spezialfall ja. Ich habe Eure Diskussion ( absichtlich ) nicht mitverfolgt
kann also nicht beurteilen ob sich Winkel LCM und das Verhältnis LC : MC immer leicht konstruierbar
aus l,m.n bestimmen lassen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2724
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 08:01:   Beitrag drucken

Hier noch eine, der 1ten recht ähnliche
Konstruktion, die aber nicht auf Vektorrechnung beruht,
sondern auf der Flächenforderung der ursprünglichen ( Idee kam mir in Badewanne :-) )
Aufgabe Elsa's beruht.
Beschreibung im .txt Anhang,
Datei für KSEG im .seg Anhang
Zeichnung
text/plainKonstruktionserläuterung
konstruktion.txt (0.8 k)

application/octet-streamKSEG-Konstruktion
3eckSeitenDoppelUmkehr.seg (2.3 k)

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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4885
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 14:18:   Beitrag drucken

Hi Friedrich

Besten Dank für Deine Lösung
der interessanten Umkehraufgabe und
für die eindrücklichen Bilder dazu.

Anmerkungen zum Thema.

Alle diese Fragen und Antworten gehören allerdings nicht in die Sparte
Universität, sondern tangieren die elementare Planimetrie, die
- wir wissen es - auch sehr anspruchsvoll sein kann
und keinesfalls vernachlässig werden darf, mögen die Themen noch so ausgefallen erscheinen.

Zur Umkehraufgabe:
Nach meiner Ansicht lässt sich die
von Dir zur Diskussion gestellte Umkehraufgabe auch im allgemeinen Fall mit Apollonius lösen; an Stelle des
Thaleskreises kommt ein Fasskreisbogen zum Zug, gemäß des Peripheriewinkelsatzes.
Dabei kommen die Winkel des Dreiecks ABC (nichtdes Dreiecks LMN) zum Einsatz,
die ja durch die
Beziehung a:b:c gegeben sind.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2726
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 17:06:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

was die Plazierung des Themas betriff würde es wohl zu "Lehramt" passen(?) .

leider
sehe ich nun auch nach durchgehen des Bisherigen
nicht
wie man aus l,m,n einfach konstruierbar auf die
Winkel von ABC kommt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4887
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 17:32:   Beitrag drucken

Hi Friedrich

Da liegt ein Missverständnis vor,wie so oft im Leben.
Ich habe früher einmal vorgeschlagen,
vom Dreieck ABC die Winkel zu geben,
indem ich das Seitenverhältnis vorschreibe
Auf grund der Aehnlichkeit können die Winkel alpha,beta ,gamma aus a:b:c
konstruiert werden.

Vorschlag:
wir brechen das Thema ab,da das Interesse andernorts nicht gross
zu sein scheint,hihi

MfG
H.R.Modser

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