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Stetigkeit von exp

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1740
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 14:03:   Beitrag drucken

Hi,

habe bis jetzt für fast jede "bekannte" Funktion die Stetigkeit mit e-d bewiesen. Nur hier haperts:

f(x)=ex

Sei x0 € IR beliebig, zZ: " e>0 ex. d>0 "x: |x-x0|< d Þ |f(x)-f(x0)|< e

Sei e>0 und x0 beliebig gegeben:
|f(x)-f(x0)|=|ex-ex0|=ex0*|ex-x0 - 1|

Hat jemand eine gute Abschätzung für den letzten Term, so das ich d in Abhängigkeit von e und x0 wählen kann?? Habe bis jetzt keine gefunden.

mfg
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Dörrby
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 14:33:   Beitrag drucken

Probiers mal mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion:
e^x = 1 +x +x^2/2 +x^3/3! + ...
Die 1 fällt dann weg und du hast
d + d^2/2 + ... ,
was, da d klein, locker mit 2d nach oben abgeschätzt werden kann.

Gruß Dörrby
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 984
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 14:42:   Beitrag drucken

Hallo,

Hinweis: Bekannt ist der Grenzwert

limh®0 (eh-1)/h = 1

Bedenke z.B. dass für u > 0, u ‡ 1

1 -1/u < ln u < u-1 .

Setze darin u = eh und stelle um =>

1 < (eh - 1)/h < eh ( h > 0 )
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1741
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 14:54:   Beitrag drucken

Hi,

du schlägst also vor:

Da d>0, müssen wir d nach oben beschränken, s.d.:
S¥ n=2 dn/(n!) < d

Dann gilt:

|f(x)-f(x0)|=ex0*|S¥ n=1(x-x0)n/(n!)| < ex0*|S¥ n=1dn/(n!)|

Dann nach deiner Überlegung:
ex0*|S¥ n=1dn/(n!)|< ex0*|2*d|

Wähle also zu e>0: d=e/(2*ex0)

Das sieht ja alles schön aus! Nur geht das so? Wie muss man dann d nach oben beschränken? Man müsste glaube ich am Ende bei der Wahl von d eine Wahl delta=min(..) treffen...

Auch andere Abschätzungen sind willkommen!

mfg
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1296
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 15:10:   Beitrag drucken

Ferdi,

deine Quantoren sind oben falsch ist dir bewusst oder?? :-)

du kennst mich ja, da bin ich pingelig...

LOL
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1742
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:11:   Beitrag drucken

Hi,

@Orion: Ich sehe jetzt nicht direkt, wie ich die Ungleichung nutzen kann, um abzuschätzen und dadurch das d zu wählen. Mir ist die Ungleichung bekannt, aber ich hatte sie hier nicht im Plan. Sie gilt ja nur für h>0, aber ich brauche doch auch h<0. Wenn ich nämlich x0=0 wähle, dann ist in der d-Umgebeung von 0, auch z.B. -d/2<0!

@Niels:
Ich wüsste jetzt nicht was ich falsch gemacht habe, ausser vielleicht ein paar Klammern, und zu sagen woher das x kommt, aber sonst sehe ich keinen Fehler.

mfg
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1297
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:20:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

lies mal genauer was da steht...

was du da in Quantoren hingeschrieben hast ist die "gleichmäßige Stetigkeit" du willst aber die "Stetigkeit" zeigen.

Bei dir hängt in der Quantorenkette das delta nichtmher von x sondern nur von Epsilon ab. Also musst du den Existenzquantor vom Delta und den All Quantor vom x "vertauschen"...

ist klar?...
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1762
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:38:   Beitrag drucken

Hallo Niels und Ferdi

Irgendwie sehe ich nicht, was an der Quantorenkette falsch ist ;)
Da steht doch(wenn man den ersten Teil auch nochmal mit nem Quantor schreibt):
"x0€IR "e>0 ex.d>0 "x€IR: |x-x0|<d=>|f(x)-f(x0)|<e
Das "x€IR kann man vielleicht noch weglassen.
Gleichmässige Stetigkeit wäre mit der gleichen Notation:
"e>0 ex.d>0"x€IR "y€IR: |x-y|<d=>|f(x)-f(y})|<e

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1298
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 17:56:   Beitrag drucken

ach so, x und x_0 na dann geht das doch so...

LOL

sorry Ferdi habe dir unrecht getan

danke Christian
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 985
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 18:09:   Beitrag drucken

Ferdi,

Für h>0 gilt

h < eh - 1 < h eh.

Wenn h < 0 d.h. h = - |h| , so wird daraus




|h| eh < |eh - 1| < |h|

Für |h| < 1 gilt daher z.B immer

|eh - 1| < 3 |h|

Damit also

|f(x)-f(x0| < e wird, genügt es,

ex0*3*|x-x0| < e

zu machen, d.h.

d = (1/3)ee-x0

leistet das Verlangte.

Zur Formulierung: Es heisst "Zu g e g e b n e m er e x i s t i e r t ein d , sodass...".
Man w ä h l t also das e und
b e s t i m m t dazu ein passendes d.


(Beitrag nachträglich am 11., März. 2005 von orion editiert)
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1743
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 18:42:   Beitrag drucken

Ok!

Danke Orion!!

Damit sind alle Beweise fertig.

@Niels: Kein Problem!

mfg
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1747
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. März, 2005 - 20:32:   Beitrag drucken

Hi,

falls es noch jemanden interessiert,

ich habe mal die Ungleichung:
S¥ n=2 dn/(n!) < d
gelöst.

Die Summe habe ich dazu zu ed-1-d umgeschrieben, die Ungleichung wird
zu: ed-2d-1<0

Sie ist wahr für 0 < d < ~1,25, d.h. d € (0 , 5/4).

Nur zur vollständigkeit. Man kann also mein erste Abschätzung wählen, wenn d aus diesem Intervall stammt! Obwohl ja wirklich d = 1.1 wohl eher uninteresant ist!

mfg

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