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Folge aus Häufungspunkten

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Folge aus Häufungspunkten « Zurück Vor »

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epsilon
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Veröffentlicht am Montag, den 21. Februar, 2005 - 20:44:   Beitrag drucken

Wir haben folgendes Problem bei uns in der Schule diskutiert und keine Lösung gefunden:

Gesucht ist eine (nicht-triviale) Folge a(n), n€N, a(i) ungleich a(j) für i ungleich j, die exakt aus ihren Häufungspunkten besteht, also

x Häufungspunkt <=> x = a(n) für eine geeignetes n.

Gruß epsilon
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1734
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Februar, 2005 - 14:20:   Beitrag drucken

Hallo epsilon

Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar. D.h. es gibt eine bijektive Abbildung von N auf Q. Diese Abbildung sei mit a bezeichnet. Dann ist a(n) eine rationale Zahl und es gilt a(i)¹a(j) für i¹j. Insbesondere taucht jede rationale Zahl genau einmal in der Folge (a(n)) auf. Nun ist es aber auch so, dass in jeder Umgebung einer rationalen Zahl wieder unendlich viele andere rationale Zahlen liegen. Damit ist jede rationale Zahl Häufungspunkt.

MfG
Christian
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 976
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 07:28:   Beitrag drucken

Christian,

Einwand: Nicht jeder Häufungspunkt ist Glied der
Folge (Irrationalzahlen !).
mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1736
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 13:24:   Beitrag drucken

Hallo Orion

Dein Einwand ist berechtigt :-(
Bei meiner Folge gilt nur die Richtung
x=a(n) für ein geeignetes n => x Häufungspunkt.

MfG
Christian
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epsilon
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 17:10:   Beitrag drucken

Hallo Christian!

Die Folge alle rationalen Zahlen haben wir auch diskutiert (gesucht war eine Folge, bei der jede reelle Zahl Häufungspunkt war), aber wie Orion schon angemerkt hat, dies löst unsere Aufgabe nicht.

Ich persönlich nehme an, dass so eine Folge nicht existiert, aber alle meine bisherigen Versuche dazu (Widerspruchsbeweis) waren nicht erfolgreich...

epsilon
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 977
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Februar, 2005 - 17:58:   Beitrag drucken

Hallo,

Ich meine auch, dass solch eine Folge nicht existiert.
Das liegt wohl daran, dass eine Menge M c R,
welche alle ihre Häufungspunkte enthält vermutlich
überabzählbar sein muss, oder ?
mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1737
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2005 - 11:04:   Beitrag drucken

Hallo

Ich bin auch eurer Meinung, dass keine solche Folge existiert. Hier mal ein (hoffentlich richtiger) Beweis dafür:
Folgen aus Häufungspunkten

MfG
Christian
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 978
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Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2005 - 18:09:   Beitrag drucken

Hallo Christian,

Das leuchtet mir ein, sehr gut ! Nur eine kleine
Bemerkung zur Bezeichnung : Es heisst zunächst

N:= {(bn | bn e {0,1}},

später jedoch

"[a,b] soll der Grenzwert der Folge ([bn,cn])
sein."
mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1740
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2005 - 18:17:   Beitrag drucken

Hallo Orion

Stimmt :-)
Ich wollte erst die Folge ([an,bn]) nehmen, dann ist mir aufgefallen, dass ja an schon festgelegt ist. An bn hatte ich dann gar nicht mehr gedacht...

MfG
Christian
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epsilon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 21:02:   Beitrag drucken

Hi Christian,

vielen Dank für Deine Hilfe, Dein Beweis ist Klasse!!
Bei unseren ersten Versuchen eine solche Folge zu finden hatten auch an die Contormenge (die ja im Prinzip genau wie bei Dir konstruiert wird) gedacht, aber da diese überabzählbar ist, kam sie nicht als mögliche Folge in Frage. Wir haben allerdings nicht geblickt, dass darin der Schlüssel zum Widerspruchsbeweis liegt.

Gruß epsilon
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Niels2
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 10:32:   Beitrag drucken

sag mal christian,

bei mir funktioniert der Link zu deinem Beweis irgendwie nicht. könntest du Dokument so hier hochladen zum Download? oder mir bitte als Mail schicken?

Danke!

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1751
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 12:22:   Beitrag drucken

Hallo Niels und epsilon

bei mir funktioniert der Link zu deinem Beweis irgendwie nicht. könntest du Dokument so hier hochladen zum Download? oder mir bitte als Mail schicken?

Ok, habs hier nochmal hochgeladen. Habe auch den kleinen Bezeichnungsfehler am Ende behoben.
application/pdfFolge aus Häufungspunkten
Folgen.pdf (23.3 k)


Bei unseren ersten Versuchen eine solche Folge zu finden hatten auch an die Contormenge (die ja im Prinzip genau wie bei Dir konstruiert wird) gedacht, aber da diese überabzählbar ist, kam sie nicht als mögliche Folge in Frage.

Das mit der Cantormenge hatte ich auch im Hinterkopf. Also man nimmt das Intervall [0,1] und schneidet das mittlere Drittel raus usw. Da ist der Beweis für die Überabzählbarkeit aber noch ein wenig leichter, weil man ja alle Intervall genau angeben kann. Damit findet man z.B. viel schneller raus, dass die Intervall praktisch alle gegen einzelne Punkte konvergieren(was hier nicht unbedingt der Fall ist).
Außerdem liegt meiner Meinung nach noch ein erheblicher Unterschied darin, dass man bei der Cantormenge weiß, dass aus einem Intervall zwei echte neue entstehen. Das war hier a priori nicht klar, deshalb musste man sich auch erstmal aus ganz IR ein passendes Intervall "rausschneiden".

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1269
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 20:47:   Beitrag drucken

Hi Christian,

vielen Dank erstmal für den "Beweis"!!!

Ich habe mir zwar nicht den Beweis im Datail angeschaut, aber an einer Stelle schreibst du:

"...wiederspruch das die Menge der Häufungspunkte abzählbar ist"

Das verstehe ich nicht ganz. Die Menge der Häufungspunkte einer Menge kann doch überabzählbar sein.

Oder habe ich da etwas missverstanden und mal wieder Häufungspunkt von Mengen und Folgen verwechselt?

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1812
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 22:38:   Beitrag drucken

Hallo Leute,

wenn ihr das Cantorsche Diskontinuum kennt, kennt ihr dann vielleicht auch den Baireschen Kategoriensatz? Mit dem folgt die Aussage nämlich sofort! Falls nicht, morgen gerne mehr :-)

Z.

(Beitrag nachträglich am 02., März. 2005 von Zaph editiert)
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1756
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 06:59:   Beitrag drucken

Hallo Niels und Zaph

"...wiederspruch das die Menge der Häufungspunkte abzählbar ist"

Es ging ja darum, dass genau die Folgenglieder die Häufungspunkte sind(und sonst keiner). Und die Menge der Folgenglieder ist natürlich abzählbar und damit auch die Menge der Häufungspunkte(der Folge).

wenn ihr das Cantorsche Diskontinuum kennt, kennt ihr dann vielleicht auch den Baireschen Kategoriensatz? Mit dem folgt die Aussage nämlich sofort! Falls nicht, morgen gerne mehr :-)

Also vom Baireschen Kategoriensatz habe ich noch nichts gehört, würde mich aber interessieren :-)

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1270
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 07:42:   Beitrag drucken

achso ja, die Anzahl der Folgeglieder ist natürlich azählbar.

Was das aber mit Baire zu tun hat interessiert mich auch....

Hat das zufällig mit Topologie zu tun? Mageren Mengen etc??

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1813
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 21:27:   Beitrag drucken

Hallo auch! Ja, das hat etwas mit Topologie zu tun. Genauer gesagt mit vollständigen metrischen Räumen und in der Tat mit so genannten mageren Mengen. Der Satz lautet "ein vollständiger metrischer Raum ist von zweiter Kategorie". Letzteres bedeutet, dass er nicht die abzählbare Vereinigung nirgends dichter (= magerer) Mengen ist.

Wenn (a(n)) eine Folge mit den besagten Eigenschaften ist, dann ist die Menge A = {a(n) | n € IN} ein metrischer Raum. A ist vollständig, da jeder Häufungspunkt von A in A liegt. Eine einelementige Teilmenge von A ist nirgends dicht, da jedes Folgeglied Häufungspunkt der Folge ist. Also ist A nach Baire nicht abzählbar.

Ich versuche mal den mir bekannten Beweis des Baireschen Satzes auf dieses Problem zu adaptieren.

Es sei (a(n)) eine injektive Folge. Jedes Folgeglied sei Häufungspunkt der Folge.

Beh.: Die Folge hat einen Häufungspunkt, der kein Folgeglied ist.

Beweis:

Definiere Ud(x) := {y€IR : |x - y| <= d} (= abgeschlossene Umgebung).

Wir defnieren rekursiv eine Teilfolge (b(m)) von (a(n)) und d(m) > 0 mit

(i) Ud(m+1)(b(m+1)) c Ud(m)(b(m)) für alle m,

(ii) Wenn b(m) = a(n), dann liegt keines der Folgeglieder a(0),...,a(n-1) in Ud(m)(b(m)),

(iii) limm -> oo d(m) = 0.

Setze dazu b(0) := a(0) und d(0) := 1.

Seien nun b(0),...,b(m) und d(0),...,d(m) bereits definiert.

Wähle n so, dass b(m) = a(n). Da a(n) Häufungspunkt der Folge ist, existiert ein k > n mit |a(k) - a(n)| < d(m). Es sei d der minimale Abstand von a(k) zu den k+2 Werten a(0), ..., a(k-1), a(n)-d(m), a(n)+d(m). Da die Folge injektiv ist, ist d > 0. Außerdem ist d < d(m)/2. Setze b(m+1) := a(k) und d(m+1) := d/2. -

Setze nun U(m) := Ud(m)(b(m)). I sei der Durchschnitt aller U(m).

Nach Konstruktion enthält I keines der Folgeglieder a(n).

Die Folge der U(m) ist weiterhin nach Konstruktion eine Intervallschachtelung. Da IR vollständig ist, gibt es daher ein x € IR mit I = {x}.

Es gilt limm -> oo b(m) = x. -

(Alternativ: (b(m)) ist Cauchyfolge. Da IR vollständig ist, ist (b(m)) konvergent. Der Limes muss in I liegen.)

(Beitrag nachträglich am 03., März. 2005 von Zaph editiert)
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1272
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 11:28:   Beitrag drucken

Hi alle zusammen,

@Zaph:

gilt das nun für "Zahlenfolgen" oder belibige
Folgen.

Ich meine der "Schachtelsatz" gilt ja allgemein für vollständige metrische Räume.

das einzige was ich noch nicht so ganz verstehe ist warum

A:={a(n) |n aus IN} ein metrischer Raum sein soll.

mit welcher Metrik bitte stattest du A aus?
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1814
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 12:05:   Beitrag drucken

Hallo Niels,

alles ab "Es sei (a(n)) ..." bezieht sich auf das ursprüngliche von epsilon gepostete Problem. Es lässt sich aber auf beliebige vollständige metrische Räume verallgemeinern.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1815
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 12:51:   Beitrag drucken

... und A (als Teilmenge von IR) ist selbstverständlich mit der normalen Abstandsmetrik versehen.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1273
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 14:08:   Beitrag drucken

HI Zaph,

wenn ich das dann richtig verstehe gilt also die Aussage nur wenn X Vollständig ist- die Vollständigkeit ist entscheident.

Sei (X,d_x) metr. Raum. dann ist ja jede Abbildung
f: IN->x eine Folge in X.

jetzt gibt es keine Folge die nur aus ihren Häufungspunkten besteht wenn X vollständig ist.
D.h. wenn X=IR oder X=IC es sich also um "Zahlenfolgen" handelt.

i. A. gilt das dann aber wohl nicht. Baire "greift" da nicht. Also ist die Aussage

Es gibt keine injektive Folge die nur aus ihren Häufngspunkten besteht falssch oder?

Man muss sich dann halt nur einen "unvollständigen"
metrischen Raum suchen...

Mich würde dann mal interessierfen wie man dann so eine Folge konstruiert.

Ich wies es geht jetzt schon über Epsilons Frage hinaus, weil ich glaube das Epsilon nur "Zahlenfolgen" meint. Aber wenn wir schon dabei sind möchte ich das allgemein wissen.

Im Querenburg habe ich dazu nix gefunden- leider.

Gruß

Niels
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epsilon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. März, 2005 - 11:28:   Beitrag drucken

Was man da so alles lostritt, mit seiner Farge ...

@ Niels:
Im unvollständigen Raum kann ich eine solche Folge angeben:

Ein dafür geeigneter unvollständigen Raum ist Q.

Da die rationalen Zahlen selbst abzählbar sind, gibt es eine Folge, die alle rationalen Zahlen durchläuft (die explizite Form des n-ten Folgenglieds ist hoffentlich egal; wir nehmen sowas wie das Diagonalenverfahren, fügen passend dazwischen die negativen Zahlen ein und streichen nachträglich alle raus, die bereits früher einmal aufgetreten sind ...).
Für diese Folge gilt: jedes Folgenglied ist Häufungspunkt; es gibt keine weiteren Häufungspunkte (weil es keine weiteren Punkte gibt...)

Gruß epsilon
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1275
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. März, 2005 - 11:44:   Beitrag drucken

Hi Epsilon,

Jupp,

das ist ja das Fazit davon:

in Vollständigen metrischen Raum geht das nicht- da greift Baire.

In "unvollständigen metrischen Raum" geht es ohne weiteres.

Aber es kommt halt auf dem metrischen Raum an, in der Man eine Menge betrachtet, und nicht so sehr auf die Menge selbst.

Christians Überlegungen mit Q- und auch deine Überlegungen zeigen das ja.

Wenn man Q als Teilemnge des Metrischen Raumes IR auffast, dann ist IR ja die "vervollständigung" von Q und es greift Baire. Wir finden also keine derartige Folge.

Fassen wir Q als Teilmenge des Metrischen Raums Q auf, so ist Q unvollständig und wir finden eine solche Folge- hast ja selbst angegeben.
Da würde auch dann Christians
Aargumentation greifen.

Dieses "Fazit" wollte ich ziehen.

Mehr nicht.

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1816
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. März, 2005 - 22:31:   Beitrag drucken

Hallo, ich war übers Wochenende nicht da, und kann daher erst jetzt wieder antworten.

Dem Fazit stimme ich zu. :-)

Z.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1278
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 07. März, 2005 - 09:29:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

schön das du dem Fazit zustimmst.

das Fazit sollte meiner Meinung nach die "Kernaussage" im Bezug auf dieses Problem sein.

Nur um da etwas "Strucktur" reinzubringen.

Also danke nochmal Zaph für deine Lösung!!!

Gruß Niels

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