Autor |
Beitrag |
Ronny77 (Ronny77)
Junior Mitglied Benutzername: Ronny77
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 21:27: |
|
Hi Leute! Habe Probleme bei einer Differenzialrechnungsaufgabe. Habe die Aufgabe zwar gelöst, weiß aber nicht wie man 1/(y- y^(1/2)) integriert. Die Lösung ist 2*ln(y^(1/2)-1), wahrscheinlich ermittelt durch SUbstitution. Vielleicht hat ja einer von euch ne Idee. Gruß ronny |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4826 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 07:35: |
|
Hi ronny Versuche es mit der Substitution sqrt (y) - 1 = z Daraus entspringt für die Differentiale dy , dz: 1 / (2 sqrt (y) * dy = dz, also d y = 2 sqrt(y) dz = 2 (z+1) dz Verwende ferner: sqrt(y) = z + 1............(1) also durch quadrieren: y = z^2 + 2 z + 1...........(2) Bilde die Differenz (2) - (1): y - sqrt(y) = z^2 + z = z * (z + 1) So sollte es gehen! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4827 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 13:30: |
|
Hi ronny Es ist reizvoll, eine Integrationsaufgabe nicht in der Diretissima zu lösen, sondern Umwege zu machen und Haken zu schlagen. Bei Deiner Aufgabe geht das z.B. so: erweitere den Integranden f(y) = 1/(y- y^(1/2)) mit y + y^(1/2); es entsteht: f(y) = [y + y^(1/2)] / [y^2 – y] = 1 / (y – 1) + y^ (1/2) / [y^2 – y] = Nun ist f(y) in die Summanden f1(y) = 1 / (y – 1) und f2(y) = y ^ (1/2) / [y^2 – y] zerlegt. Für f1(y) finden wir sofort eine Stammfunktion F1(y), nämlich F1(y) = ln (y – 1); (y - 1) in Betragsstrichen Um eine Stammfunktion F2(y) von f2(y) zu bekommen, substituieren wir y^(1/2) = u; daraus folgt: 1/ [2 y^(1/2)] dy = du f2(y) dy wird zu u 2 y^(1/2) du / [u^4 – u^2] = -2 / (1 - u^2); daraus erhalten wir durch Integration F2 = - 2 artanh u Somit erhalten wir totaliter: F = F(u) = ln (y – 1) – 2 artanh y als eine mögliche Stammfunktion von f(y). Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4828 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 13:41: |
|
Hi Ronny Korrektur: Ganz am Schluss in meinem Beitrag sollte es heißen: - 2 artanh (y^(1/2)) Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 83 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 15:49: |
|
Ronny, oder schlicht und einfach so: gruß von elsa |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 84 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 16:24: |
|
...in der 3. Zeile muss es natürlich heißen: dy anstatt dx! Macht der Gewohnheit! liebe Grüße elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4831 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 16:34: |
|
Und unter dem allerersten Integral ein Minus statt ein Plus? MfG HR |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 85 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 16:37: |
|
ach ja, natürlich! sorry vielmals! liebe Grüße elsa |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 86 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 16:44: |
|
da stand nicht, was ich wollte... (Beitrag nachträglich am 03., März. 2005 von elsa13 editiert) |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 87 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 16:52: |
|
noch ein Versuch, aber mit x als Variable und hoffentlich richtig:
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4832 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 18:21: |
|
Liebe elsa, Deine Lösung ist methodisch nicht zu übertreffen! Hoffentlich wird sie von Ronny auch gewürdigt. Diese Lösung unterscheidet sich von meiner ersten Methode beim Substitutionsansatz nur um eine Konstante – 1. Ich habe den Ansatz deshalb gewählt, weil er in der von Ronny angegebenen Lösung zu Tage tritt. Solche Tricks vereinfachen den Rechenaufwand gelegentlich, sind für den Schüler aber nicht so leicht durchschaubar. Meine zweite Methode soll als Gag aufgefasst werden. Miss Marpel macht es übrigens auch so. Der Studierende soll nun nachweisen, dass die Resultate sich nur um eine additive Konstante K unterscheiden, und dieser Summand K soll ermittelt werden, hihi. Mit freundlichen Grüßen HR |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4835 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 06:30: |
|
Hi allerseits In diesem Beitrag möchte ich zeigen, wie man die Konstante K berechnen kann, von der in meinem letzten Betrag die Rede war. Es sind in den letzten Beträgen zwei Stammfunktionen zu f(y) = 1/(y- y^(1/2)) angegeben worden, nämlich F (y) = 2* ln [y^(1/2)-1)] und G(y) = ln (y – 1) – 2 artanh (sqrt(y)) Wenn alles seine Richtigkeit hat, unterscheiden sich die Funktionen F(y) und G(y) nur durch eine Konstante K; es gilt also etwa. F(y) = K + G(y), für alle zulässigen y- Werte und eine zu bestimmende Konstante K. Dies bedeutet: 2* ln [y^(1/2)-1)] = K + ln (y – 1) – 2 artanh [sqrt(y)] 2* ln ¦y^(1/2)-1)¦ = K + ln ¦y – 1¦ – ln [(1+sqrt(y) / (1 - sqrt(y)] , abs(y) < 1. Wir wählen y = ¼ aus, das liegt im Trend. Es entsteht eine Gleichung für K: 2 * ln (½) = K + ln(¾) - ln 3, daraus K = ln 3 + ln (1/3) = 0 Die beiden Stammfunktionen sind somit identisch! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |