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Brauche_Hilfe_bei_Integration

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Ronny77 (Ronny77)
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Junior Mitglied
Benutzername: Ronny77

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. März, 2005 - 21:27:   Beitrag drucken

Hi Leute!

Habe Probleme bei einer Differenzialrechnungsaufgabe. Habe die Aufgabe zwar gelöst, weiß aber nicht wie man
1/(y- y^(1/2)) integriert.
Die Lösung ist 2*ln(y^(1/2)-1), wahrscheinlich ermittelt durch SUbstitution. Vielleicht hat ja einer von euch ne Idee.

Gruß ronny
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4826
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 07:35:   Beitrag drucken

Hi ronny

Versuche es mit der Substitution
sqrt (y) - 1 = z
Daraus entspringt für die Differentiale dy , dz:
1 / (2 sqrt (y) * dy = dz,
also
d y = 2 sqrt(y) dz = 2 (z+1) dz

Verwende ferner:
sqrt(y) = z + 1............(1)
also durch quadrieren:
y = z^2 + 2 z + 1...........(2)

Bilde die Differenz (2) - (1):
y - sqrt(y) = z^2 + z = z * (z + 1)

So sollte es gehen!

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4827
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 13:30:   Beitrag drucken

Hi ronny

Es ist reizvoll, eine Integrationsaufgabe nicht in
der Diretissima zu lösen, sondern Umwege zu machen
und Haken zu schlagen.

Bei Deiner Aufgabe geht das z.B. so:
erweitere den Integranden
f(y) = 1/(y- y^(1/2)) mit y + y^(1/2); es entsteht:
f(y) = [y + y^(1/2)] / [y^2 – y] =
1 / (y – 1) + y^ (1/2) / [y^2 – y] =

Nun ist f(y) in die Summanden
f1(y) = 1 / (y – 1) und
f2(y) = y ^ (1/2) / [y^2 – y]
zerlegt.

Für f1(y) finden wir sofort eine Stammfunktion F1(y),
nämlich
F1(y) = ln (y – 1);
(y - 1) in Betragsstrichen

Um eine Stammfunktion F2(y) von f2(y) zu bekommen,
substituieren wir y^(1/2) = u;
daraus folgt:
1/ [2 y^(1/2)] dy = du
f2(y) dy wird zu
u 2 y^(1/2) du / [u^4 – u^2] = -2 / (1 - u^2);
daraus erhalten wir durch Integration
F2 = - 2 artanh u

Somit erhalten wir totaliter:
F = F(u) = ln (y – 1) – 2 artanh y als eine mögliche
Stammfunktion von f(y).

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4828
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 13:41:   Beitrag drucken

Hi Ronny

Korrektur:
Ganz am Schluss in meinem Beitrag sollte es heißen:
- 2 artanh (y^(1/2))

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 83
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 15:49:   Beitrag drucken

Ronny,
oder schlicht und einfach so:
integral1
gruß von elsa
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 84
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 16:24:   Beitrag drucken

...in der 3. Zeile muss es natürlich heißen:
dy anstatt dx!
Macht der Gewohnheit!
liebe Grüße
elsa
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4831
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 16:34:   Beitrag drucken



Und unter dem allerersten Integral
ein Minus statt ein Plus?
MfG
HR
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 16:37:   Beitrag drucken

ach ja, natürlich! sorry vielmals!
liebe Grüße
elsa
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 16:44:   Beitrag drucken

da stand nicht, was ich wollte...

(Beitrag nachträglich am 03., März. 2005 von elsa13 editiert)
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 16:52:   Beitrag drucken

noch ein Versuch, aber mit x als Variable und hoffentlich richtig:
integral1
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4832
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 18:21:   Beitrag drucken

Liebe elsa,

Deine Lösung ist methodisch nicht zu übertreffen!
Hoffentlich wird sie von Ronny auch gewürdigt.

Diese Lösung unterscheidet sich von meiner ersten Methode
beim Substitutionsansatz nur um eine Konstante – 1.
Ich habe den Ansatz deshalb gewählt, weil er in der von
Ronny angegebenen Lösung zu Tage tritt.
Solche Tricks vereinfachen den Rechenaufwand
gelegentlich, sind für den
Schüler aber nicht so leicht durchschaubar.

Meine zweite Methode soll als Gag aufgefasst werden.
Miss Marpel macht es übrigens auch so.

Der Studierende soll nun nachweisen, dass die Resultate
sich nur um eine additive Konstante K unterscheiden,
und dieser Summand K soll ermittelt werden, hihi.

Mit freundlichen Grüßen
HR
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4835
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 06:30:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In diesem Beitrag möchte ich zeigen, wie man die Konstante K
berechnen kann, von der in meinem letzten Betrag die Rede war.

Es sind in den letzten Beträgen zwei Stammfunktionen zu
f(y) = 1/(y- y^(1/2))
angegeben worden, nämlich
F (y) = 2* ln [y^(1/2)-1)] und
G(y) = ln (y – 1) – 2 artanh (sqrt(y))

Wenn alles seine Richtigkeit hat, unterscheiden sich die Funktionen
F(y) und G(y)
nur durch eine Konstante K; es gilt also etwa.
F(y) = K + G(y), für alle zulässigen y- Werte
und eine zu bestimmende Konstante K.
Dies bedeutet:
2* ln [y^(1/2)-1)] = K + ln (y – 1) – 2 artanh [sqrt(y)]
2* ln ¦y^(1/2)-1)¦ = K + ln ¦y – 1¦ – ln [(1+sqrt(y) / (1 - sqrt(y)] ,
abs(y) < 1.

Wir wählen y = ¼ aus, das liegt im Trend.
Es entsteht eine Gleichung für K:

2 * ln (½) = K + ln(¾) - ln 3, daraus
K = ln 3 + ln (1/3) = 0


Die beiden Stammfunktionen sind somit identisch!


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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