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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1149
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 08:51: | 
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zeige für alle n aus IN folgende Teilbarkeit
91 | n^37 - n
91 = 7 * 13
n^37 - n = n (n^36 - 1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^12-n^6+1)(n^6-n^3+1)(n^6+n^3+1)(n^4-n^2+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)
Viel Spaß beim Weiterknobeln 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1745
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 13:45: |
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Hallo Mainzi
Wir kommen auch ohne irgendwelche Zerlegungen aus
Beachte, dass 91=7*13 gilt.
Wir zeigen 7 | n37-n und 13 | n37-n
Es gilt (mit dem kleinen Fermat'schen Satz):
(n37-n)mod(7)=((n)mod(7))*((n6)mod(7))6-(n)mod(7)
=(n)mod(7)-(n)mod(7)=0
=> 7 | n37-n
Analog
(n37-n)mod(13)=((n)mod(13))*((n12)mod(13))3-(n)mod(13)
=(n)mod(13)-(n)mod(13)=0
=> 13 | n37-n
Zusammen hat man also 91 | n37-n .
MfG
Christian
(Beitrag nachträglich am 28., Februar. 2005 von christian_s editiert) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1151
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 19:28: |
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Hallo Christian,
An das müßt man halt denken
Bestimme das größte k aus IN, sodaß für alle n aus IN gilt:
k | n37 - n
Hast Du 'ne Idee?
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1750
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 21:02: |
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Hallo Walter
Ich denke das größte k ist gegeben durch
k=1919190=2*3*5*7*13*19*37
k teilt auf jeden Fall n37-n für alle n aus IN(Beweis wie oben).
Es bleibt also noch zu überprüfen, ob es auch Primteiler p geben kann, sodass p-1 nicht 36 teilt. Ich denke das funktioniert nicht, habe aber im Moment leider keine Zeit um mich näher damit zu beschäftigen. Ich werds mir am Wochenende nochmal anschauen.
MfG
Christian |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1758
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 22:30: |
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Hallo Walter
Bin erst jetzt wieder zu der Aufgabe gekommen. ich glaube ich habe einen Beweis gefunden, dass die oben gegebene Zahl die größte mit den gewünschten Eigenschaften ist.
Und zwar soll nun p ein Primteiler von n37-n sein, sodass p-1 nicht 36 teilt.
Dann existieren Zahlen q und r aus IN mit 0<r<p-1 und 36=(p-1)q+r
Es folgt
(n37)mod(p)=(n36)mod(p)*(n)mod(p)
=(nr)mod(p)*(n)mod(p)
=(nr+1)mod(p)=(n)mod(p)
Letzteres Gleichheitszeichen, weil p | n37-n.
Multipliziert man mit dem Inversen von n(für n¹0), so hat man
(nrº1)mod(p).
Und das gilt für alle natürlichen Zahlen n. Insbesondere also für alle Zahlen n=0,1,...,p-1. Nun ist aber bekannt, dass die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers zyklisch ist(Hier hat man den Restklassenkörper), also gibt es ein Element k aus 2,...,p-1 mit (kp-1)mod(p)=1 und (ks)mod(p)¹1 für s<p-1. Das widerspricht aber (kr)mod(p)=1, weil 0<r<p-1.
MfG
Christian
(Beitrag nachträglich am 09., März. 2005 von christian_s editiert) |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1759
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 22:40: |
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Hallo Walter
Das ganze Verfahren sollte sich auch problemlos übertragen lassen auf ein klein wenig allgemeineres Problem.
Gesucht ist die größte natürliche Zahl k, die np-n für alle natürlichen Zahlen n teilt mit p als Primzahl. k ist dann das Produkt aus denjenigen Zahlen d, für die d-1 ein Teiler von p-1 ist.
MfG
Christian |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1181
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 13:57: |
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Hallo Christian,
interessant die Verallgemeinerung
mal mit p=5 probieren
teiler von 4 sind 1, 2, 4, das wäre dann 2 * 3 * 5 als größter Teiler für alle n
n^5 - n = n*(n^4-1) = n*(n-1)*(n+1)*(n^2+1)
teilt 5 nicht einen der ersten 3 Faktoren, teilt es den letzten; 2 bzw. 3 sind Teiler von einem der ersten 3 Faktoren;
perfekt 
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1760
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. März, 2005 - 14:23: |
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Hallo Walter
Wollte grade schreiben, dass in meiner Überlegung oben noch ein paar Fehler drin sind ;)
Zunächst nochmal zum Fall p=37. Hier funktioniert noch alles. Man müsste nur noch prüfen, ob Primfaktoren von 2*3*5*7*13*19*37 mehrfach vorkommen können, tut hier aber keiner.
Beim allgemeinen Fall stimmt das was ich geschrieben habe allerdings nicht. Das liegt daran, dass die Zahlen d prim sein müssen für meinen Beweis von oben. Ist d prim und hat die obigen Eigenschaften, so teil d aber auf jeden Fall np-n. Bisher bin ich mir allerdings noch nicht sicher was mit den Zahlen d ist, die nicht prim sind. Ich vermute, dass sie dann auch kein Teiler von np-n sind, einen Beweis habe ich dafür aber nicht.
Zuletzt müsste man noch prüfen wie es mit mehrfachen Primteilern ist, d.h. ob es vielleicht so ist, dass keine mehrfachen Primteiler vorkommen können, wie es z.B. bei p=37 der Fall ist.
MfG
Christian |
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