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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1736
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2005 - 13:31: | 
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Hi,
mit IH als C-Vektorraum hab ich so meine Probleme!
Ist eine Basis B = {1,j}. Damit hätte IH über C die Dimension 2?
Ist die Konjugationsabbildung IH -> IH , z -> zk linear. Ggf bestimme man die Darstellungmatrix bzgl B!
zk soll die zu z konjugierte Zahl sein, in C wäre dies ja z=a+bi -> zk=a-bi. Nur mein Problem ist wie das mit der Basis hier aussieht? Ich brauche ja die Bilder der Basis unter der Abbildung. Mit IH als IR Vektorraum ging das recht gut, ich hatte als Basis A = {1,i,j,k}. Die Dimension ist dann also 4.
Nur stimmt meine Basis hier? Wie rechne ich damit? Ist bestimmt ganz einfach aber ich sehe es im Moment nicht! Bin für jede Hilfe dankbar!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4790
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Februar, 2005 - 19:49: |
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Hi Ferdi
Ich bediene mich im Folgenden einer möglichst
einfachen Sprache!
Zu Deinem Thema weiß ich das Folgende; ich hoffe,
Du kannst davon profitieren.
Ein Vektorraum über einem Körper K heißt eine Algebra über K,
wenn eine zusätzliche Verknüpfung definiert ist, die jedem Paar
[a,b] von Vektoren aus V eindeutig einen Vektor
a ° b zuordnet; hierbei muss gelten:
a ° ( b + c ) = a ° b + a ° c
(a + b ) ° c = a ° c + b ° c
r a ° s b = r s (a ° b ) für alle r, s aus dem Körper K.
Dazu drei Beispiele
1.
R2:
Über dem Körper R der reellen Zahlen werde definiert
{a1;a2} ° {b1, b2} = {a1b1 – a2b2; a1b2 + a2b1} (!)
Der geneigte Leser merkt:
dies ist die Multiplikation der komplexen Zahlen.
Das kommutative Gesetz und das assoziative Gesetz der
Ringmultiplikation sind gültig.
Es liegt ein kommutativer Körper vor.
Verknüpfungstafel der Grundvektoren e1, e2:
e1°e2 = e1; e1 ° e2 = e2 ; e2 * e1 = e2 ; e2 ° e2 = - e1
2.
R3
Einführung des vektoriellen Produkts
{a1;a2;a3} ° {b1,b2,b3} = {a2b3-a3b2;a3b1-a1b3};a1b2-a2b1}
führt auf eine Algebra über dem Körper der reellen Zahlen. R
Kommutativgesetz und Assoziativgesetz gelten nicht.
Multiplikationstafel.
e1°e1 = 0 ; e1°e2 = e3 ; e1°e3 = -e2
e2°e1 = -e3 ; e2°e2 = 0 ; e2°e3 = e1
e3°e1 = e2 ; e3°e2 = - e1 ; e3°e3 = 0
3.
R4
Quaternionen (nach Hamilton)
Definition der Verknüpfung:
{a1;a2;a3;a4} ° {b1,b2,b3,b4} =
{a1b1- a2b2 - a3b3- a4b4; a1b2+ a2b1 + a3b4 -a4b3;
a1b3+ a3b1 + a4b3- a3b4; a1b4+ a4b1 + a2b3- a3b2}
Multiplikationstafel.
e1°e1 = e1 ; e1°e2 = e2 ; e1°e3 = e3 ; e1°e4 = e4
e2°e1 = e2 ; e2°e2 = - e1 ; e2°e3 = e4 ; e2°e4 = -e3
e3°e1 = e3 ; e3°e2 = - e4 ; e3°e3 = -e1 ; e3°e4 = e2
e4°e1 = e4 ; e4°e2 = e3 ; e4°e3 = -e2 ; e4°e4 = -e1
Diese Algebra ist ein Schiefkörper.
Mit Quaternionen zu rechnen ist nicht allzu schwierig.
Ich bringe ev. später noch Beispiele dazu.
So weit, alles ohne Gewähr für die Richtigkeit.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1738
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2005 - 13:26: |
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Hallo Ferdi und Megamath
Wie wäre es hiermit:
Zunächst einmal ist B tatsächlich eine Basis von IH mit IC als Grundkörper:
Sei v=a+i*b+c*j+d*k aus IH. Dann ist
(a+i*b)*1+(c+i*d)*j=a+i*b+c*j+d*k
Damit erzeugt B jedenfalls schonmal den ganzen Vektorraum IH.
Die Unabhängigkeit der Vektoren 1 und k ist ohnehin klar.
Also ist B eine Basis von IH über IC und damit ist der Raum natürlich auch 2-dimensional.
Unter Konjugation ist jetzt denke ich folgendes zu verstehen:
zk(a+b*j)=a-b*j mit a,b aus IC.
Wir zeigen, dass zk linear ist:
Seien dafür h1=a1+b1*j und h2=a2+b2*j aus IH mit allen ai und bi aus IC.
Es gilt dann
zk(h1+h2)=zk((a1+a2)+(b1+b2)j)
=a1+a2-(b1+b2)j
=(a1-b1j)+(a2-b2j)
=zk(h1)+zk(h2)
Sei nun r,a,b aus IC und h=a+b*j aus IH. Dann ist zunächst schonmal r*a aus IC und r*b aus IC. Also
zk(r*h)=zk((ra)+(rb)j)=ra-rb*j
=r*(a-b*j)=r*zk(h)
Damit ist zk linear. Wegen zk(1)=1 und zk(j)=-j erhalte ich die Darstellungsmatrix
DB(zk)=
MfG
Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4791
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2005 - 14:12: |
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Hi Ferdi
Wir wollen, wie angekündigt, zwei Quaternionen miteinender multiplizieren.
Dabei ist wegen der Schiefe des Körpers auf die Reihenfolge der Faktoren zu achten!
Gegeben sind die Quaternionen
q = {1,0,2,0}, q2 = {2,0,-1,1}
Man ermittle das Produkt
p =q1 ° q2.
Hinweis
1.Methode zur Lösung
Verwende die in meinem letzten Beitrag gezeigte Multiplikationstafel der Basisvektoren e1,e2,e3,e4.
2.Methode zur Lösung
Sei q = {a,b,c,d} ein Quaternion
Lass diesem Quaternion die komplexe (2,2) Matrix entsprechen
Q:= matrix([[(a+bi,c+di],[-c+di,a-bi]]) , zeilenweise Darstellung
Schreibe Q1 und Q2 an, und bilde das übliche
Matrixprodukt P = Q1 * Q2
Schließe auf das Resultat p zurück!
Viel Vergnügen beim Rechnen von Hand!
Eine dritte Methode mit (4,4) Matrizen ist noch geheim.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4792
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2005 - 14:35: |
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Hi Christian
Dein Beitrag ist sehr aufschlussreich.
Danke!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1737
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2005 - 16:17: |
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Hi Christian & megamath,
danke für eure Hilfe!!
meinst du es mit den (4,4) Matrizen so:
Wir schreiben z.B.
I =
Wir ersetzen dann:
i =
Damit dann I =
Also eine reele 4x4Matrix! Hast du das gemeint?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4793
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Februar, 2005 - 20:31: |
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Hi Ferdi
Sei q = {a,b,c,d} wiederum ein Quaternion.
Lass diesem Quaternion die reelle (4,4) Matrix entsprechen
M:= matrix ([[a,b,-d,-c],[-b,a,-c,d],[d,c,a,b],[c,-d,-b,a]]) ,
zeilenweise Darstellung.
Schreibe M1 und M2 an,wie sie sich aus q1 und q2 ergeben.
Bilde das übliche Matrixprodukt P = M1 * M2.
Schließe auf das Resultat p zurück!
Viel Vergnügen beim Rechnen von Hand!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4794
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 09:28: |
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Hi
Als Musterbeispiel soll die früher gestellte Multiplikationsaufgabe
für Quaternionen mit Hilfe der Methode mit den (4,4) –Matrizen gelöst werden.
Die Aufgabe lautete:
Gegeben sind die Quaternionen
q = {1,0,2,0}, q2 = {2,0,-1,1}
Man ermittle das Produkt
p =q1 ° q2.
Lösung
Die beiden in meinem letzten Beitrag erwähnten Matrizen lauten:
M1:=matrix([[1,0,0,-2],[0,1,-2,0],[0,2,1,0],[2,0,0,1]]);
M2:=matrix([[2,0,-1,1],[0,2,1,1],[1,-1,2,0],[-1,-1,0,2]]);
Das Produkt P = M1&* M2 dieser Matrizen lautet
P =matrix([[4,2,-1,-3],[-2,4,-3,1],[1,3,4,2],[3,-1,-2,4]]);
Daraus schließen wir auf die Werte a,b,c d des Produkts
p = q1°q2:
a = 4 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 1
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dasselbe erhalten wir mit den andern Methoden.
Es wäre reizvoll, eine Theorie und eine Praxis zum Thema „Quaternionen“
von Grund auf zu entwickeln.
Der Fundes ist, wie etwa beim Thema „Gammafunktion“, unerschöpflich!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1738
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 10:05: |
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Hi megamath,
tatsächlich ist die Entdeckung der Quaternionen eine interesante Geschichte. Ich habe sie just diesen morgen im Internet gelesen!
Schon faszinierend wie William Rowan Hamilton (1805-1865), schlussendlich die Quaternionen fand!
Schade das ich im Moment nicht die Zeit habe tiefer in die Materie einzudringen. Aber irgendwann findet sich bestimmt die Zeit dazu!
mfg |
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