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Approximation der Eins

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Sonstiges » Approximation der Eins « Zurück Vor »

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Michel (Michel)
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Junior Mitglied
Benutzername: Michel

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Januar, 2005 - 20:11:   Beitrag drucken

Hallo zusammen

Bei dieser Aufgabe hab ich keinen blassen Schimmer wie man da angehen sollte. In meinen Vorlesungsnotizen finde ich nichts schlaues. Wäre also dankbar, wenn mir jemand diese Aufgabe erkläre könnte.

a) Zeige für f stetig auf R:
lim (n/2)*int(f(x-t), untere grenze -1/n, obere grenze 1/n)dt = f(x). (n-> oo)
b)Zeige für f elem L^1(R):
lim (n/2)*int(f(x-t), untere grenze -1/n, obere grenze 1/n)dt = f(x) im sinne der L^1-Konvergenz.

Hinweis: Approximation der Eins mit rho = xi_[-1/2,1/2]

michel
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 961
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 17. Januar, 2005 - 16:47:   Beitrag drucken

michel,

a) Ich würde den Mittelwertsatz der Integralrechnung
anwenden:
Wenn f auf [a,b] stetig, so gibt es ein x mit
a < x < b sodass

òa b f(t) dt = (b-a) f(x)

Im vorliegenden Fall gibt es zu jedem n € N ein
xn mit - 1/n < xn < 1/n , sodass

(n/2) ò-1/n 1/n f(x-t) dt = f(x-xn)
mfG Orion
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Michel (Michel)
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Junior Mitglied
Benutzername: Michel

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2005 - 21:13:   Beitrag drucken

Hallo Orion,

Ja, so ist es absolut klar ! Sorry, dass ich mich erst so spät wieder melde.

Wie kann man Integrale etc so schön eingeben wie du es gemacht hast ? gibt es so nen formeleditor oder ist es eher das fed-system, wo viele anderen foren brauchen ?

gruss und nochmals herzlichen dank

michel
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Michel (Michel)
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Benutzername: Michel

Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2005 - 21:25:   Beitrag drucken

habs gerade gefunden wegen dem formatieren...

hat sich also auch erledigt.

michel
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 962
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 07:56:   Beitrag drucken

michel,

Zu Teil b) : Der Begriff "Approximation der Eins" ist
mir leider nicht (mehr ) präsent. Was ist darunter zu
verstehen ?
mfG Orion
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Michel (Michel)
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Mitglied
Benutzername: Michel

Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 13:17:   Beitrag drucken

Orion,

Unter der Approximation der Eins verstehen wir folgendes:
Ist r element L^1(R) mit ò r dµ = 1, so ist die Folge rn(t)=n r(n t) eine Approximation der Eins. Für alle f element L^1(R) gilt lim ||f-f*rn||1 = 0 (n->oo). Hier versteht man * als Faltung.

hoffe, dass du mit meiner Def. klar.

michel



(Beitrag nachträglich am 19., Januar. 2005 von Michel editiert)
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 963
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 14:26:   Beitrag drucken

Hm, soweit ist das klar. Den Hinweis

r = xi_[-1/2,1/2]

verstehe ich allerdings immer noch nicht.
mfG Orion
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Michel (Michel)
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Benutzername: Michel

Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 15:35:   Beitrag drucken

mit r = c[-1/2,1/2] ist die charakteristische Funktion im Intervall [-1/2,1/2] gemeint.

(Beitrag nachträglich am 19., Januar. 2005 von Michel editiert)
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 964
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 16:55:   Beitrag drucken

aha, xi:= c. Dann ist

ò-1/n 1/n f(x-t) dt = ò-1/n 1/n f(x-t)r(t) dt

= ò-¥ ¥ f(x-t)r(t) dt

= ( f * r)(x),

und alles sollte klar sein.

(Beitrag nachträglich am 19., Januar. 2005 von orion editiert)
mfG Orion
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Michel (Michel)
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Benutzername: Michel

Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 17:07:   Beitrag drucken

danke orion

vor lauter Bäume hab ich den Wald nicht mehr gesehen. Ich suche vielmals zu weit...

michel

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