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Mathematisches Spiel

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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1708
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 17:54:   Beitrag drucken

Hallo :-)

Unser Professor hat uns kurz vor Weihnachten die folgende Aufgabe gestellt.
Es geht um ein Spiel zwischen dem Weihnachtsmann und dem Christkind.
Und zwar hat man ein Polynom der Form
R(x)=x10+a9x9+...+a1x+1
gegeben.
Der Weihnachtsmann und das Christkind ersetzen nun abwechselnd einen der Koeffizienten a1,...,a9 durch eine reelle Zahl.
Das Christkind gewinnt, wenn das entstandene Polynom eine reelle Nullstelle hat, sonst gewinnt der Weihnachtsmann.
Welche Strategie muss das Christkind wählen um sicher zu gewinnen?

Bin mal auf eure Lösungen gespannt :-)

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1082
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 19:04:   Beitrag drucken

Derjenige der a9 ersetzt, ersetzt auch a1; und falls dies der Weihnachtsmann ist, hat das Christkind eine Chance, in dem es seine Koeffizienten (a8, a6, a4, a2) auf Werte kleiner oder gleich 0 setzt;

a10 ist mit 1 vorgegeben
a9 setzt der Weihnachtsmann
a8 setzt es auf -|a9|-1
a7 setzt der Weihnachtsmann
a6 setzt es auf -|a7|
a5 setzt der Weihnachtsmann
a4 setzt es auf -|a5|
a3 setzt der Weihnachtsmann
a2 setzt es auf -|a3|
a1 setzt der Weihnachtsmann
a0 ist ebenfalls mit 1 vorgegeben

kann der Weihnachtsmann überhaupts durch das Setzen des Koeffizienten vom linearen Glied noch gegensteuern?

Ersetzt hingegen das Christkind die ungeraden Koeffizienten (a9, a7, a5, a3, a1), dann hat es den Trumpf in der Hand:
a10 ist mit 1 vorgegeben
a9 setzt es auf -1
a8 setzt der Weihnachtsmann
a7 setzt es auf -a8
a6 setzt der Weihnachtsmann
a5 setzt es auf -a6
a4 setzt der Weihnachtsmann
a3 setzt es auf -a4
a2 setzt der Weihnachtsmann
a1 setzt es auf -a2-1
a0 ist ebenfalls mit 1 vorgegeben
damit ist +1 eine reelle Lösung der Gleichung;

Gruß,
Walter

(Beitrag nachträglich am 15., Januar. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1709
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 19:32:   Beitrag drucken

Hi Walter

Es ist so gedacht, dass beliebige Koeffizienten gewählt werden. Also man darf sich bei jedem Zug irgendeinen Koeffizienten aussuchen.

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1083
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 20:02:   Beitrag drucken

Hm,

die Frage ist halt, ob derjenige der den vorletzten Koeffizienten wählt das Spiel bereits für sich entscheiden kann?

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1710
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 20:49:   Beitrag drucken

die Frage ist halt, ob derjenige der den vorletzten Koeffizienten wählt das Spiel bereits für sich entscheiden kann?

Ja, genau. Das Christkind muss geschickt genug spielen, dass der Weihnachtsmann im letzten Zug nicht mehr verhindern kann, dass das Polynom eine Nullstelle hat.
Hier mal meine Lösung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~cschmid8/weihnachtsblatt.pdf
(Das Polynom hieß bei uns auf dem Zettel Lebkuchenpolynom).

Es gibt da aber doch sicher irgendeinen besseren Weg?!

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1084
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 21:25:   Beitrag drucken

Oder anders, im Falle daß das Christkind den letzten Koeffizienten setzt, muß der Weihnachtsmann geschickt genug spielen, damit das Christkind beim letzten Zug keine reelle Nullstelle mehr hinbekommt.

Geht das überhaupt?
[falls es geht, wäre es irgendwie ein Widerspruch zum Fall 1 im PDF]

Eines ist auch klar, wenn das Christkind einen geraden Koeffizienten setzt, dann setzt es dort einen sehr sehr kleinen Koeffizienten (negativ)
hingegegn setzt der Weihnachtsmann einen geraden Koeffizienten, setzt dieser einen sehr großen Koeffizienten (positiv)

x10 + 10 x9 + a8 x8 + 120 x7 + 220 x6 + 252 x5 + 220 x4 + 120 x3 + 45 x2 + a1 x + 1 = 0

Kann man a8 so setzen, daß es egal ist wie a1 gesetzt wird?
lt. Mathematica nein

von daher denke ich mal, daß derjenige Sieger ist, der den letzten Koeffizienten setzt.

Die Aufgabe ist echt gut

Gruß,
Walter
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1711
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Januar, 2005 - 00:03:   Beitrag drucken

Oder anders, im Falle daß das Christkind den letzten Koeffizienten setzt, muß der Weihnachtsmann geschickt genug spielen, damit das Christkind beim letzten Zug keine reelle Nullstelle mehr hinbekommt.


Der Weihnachtsmann soll ja gar nicht gewinnen. Es soll nur eine Strategie gefunden werden, mit der das Christkind immer gewinnt. Anders herum funktioniert es natürlich nicht.


Kann man a8 so setzen, daß es egal ist wie a1 gesetzt wird?
lt. Mathematica nein


Wie hast du das von Mathematica berechnen lassen? Man weiss doch gar nicht wann die Koeffizienten a1 und a8 gesetzt werden und welche Werte die anderen Koeffizienten haben.

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1086
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Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Januar, 2005 - 00:25:   Beitrag drucken

hm, der Weihnachtsmann soll nicht gewinnen, äh, dann könnte er ja dazu beitragen, daß das Christkind immer gewinnt, oder nicht?

das mit der Berechnung von Mathematica, ich bin einfach mal fiktiv hergegegangen und habe eine Gleichung bis auf 2 unbekannte Koeffizienten "zusammengeschustert"; und dann hab ich ma gedacht, ob ich nicht doch durch setzen des einen Koeffizienten den anderen Spielteilnehmer ausbrems, scheiterte dabei aber;

Gruß,
Walter
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1720
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Januar, 2005 - 10:37:   Beitrag drucken

Hallo Walter

Habe hier nochmal eine Musterlösung zu der Aufgabe:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~cdeil/analysis1/blatt9xmas.pdf

Von der Strategie her ist es das gleiche wie in meinem Beweis. Aber der letzte Fall ist etwas schöner bewiesen.

MfG
Christian

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