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Transformationsformel Aufgabe

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Michel (Michel)
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Junior Mitglied
Benutzername: Michel

Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 12:47:   Beitrag drucken

Hallo zusammen,

Ich habe da eine Aufgabe, wo ich irgendwie Mühe habe den Transformationssatz anzuwenden.

Es seien A eine reelle, symmetrische 3x3 Matrix, die x^t*A*x > 0 für alle x != 0 erfüllt, und
E = {x element R^3: <A*x,x> <= r^2}, r>0, wobei < , > das Standardskalarprodukt bezeichne.
Zeige, dass Vol(E) = 4*pi*r^3/(3*sqrt(det(A))).

Hinweis: A = D^2 mit D symmetrisch, <A*x,x> = <D*x,D*x>
x^t entspricht der transponierte

Vielen Dank für die Hilfe !

gruss

michel
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 954
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 18:01:   Beitrag drucken

michel,

Vorschlag: A ist reell-symmetrisch und positiv definit.
Daraus folgt : die Eigenwerte li , i=1,2,3,
sind positiv. Ferner gibt es eine orthogopnale Matrix
T, sodass

Tt A T = diag(l1,l2,l3) =: D, und mit

Tx = :y

wird

E = {y € R3 | yt D y £ r2 }

Setzen wir ai := r/sqrt(li),

so lautet die letztere Bedingung

S3 i=1 yi2/ai2 £ 1.

Daher ist

Vol(E) = Volumen des 3-achsigen Ellipsoides mit
den Hauptachsen ai =>

Vol(E) = 4pa1a2a3/3

Wegen

det (A) = det (D) = l1l2l3

folgt die Behauptung.
mfG Orion
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Michel (Michel)
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Junior Mitglied
Benutzername: Michel

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 05-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 18:30:   Beitrag drucken

danke orion

jetzt ist es klar.

gruss

michel

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