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Michel (Michel)
Junior Mitglied Benutzername: Michel
Nummer des Beitrags: 17 Registriert: 05-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 12:47: |
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Hallo zusammen, Ich habe da eine Aufgabe, wo ich irgendwie Mühe habe den Transformationssatz anzuwenden. Es seien A eine reelle, symmetrische 3x3 Matrix, die x^t*A*x > 0 für alle x != 0 erfüllt, und E = {x element R^3: <A*x,x> <= r^2}, r>0, wobei < , > das Standardskalarprodukt bezeichne. Zeige, dass Vol(E) = 4*pi*r^3/(3*sqrt(det(A))). Hinweis: A = D^2 mit D symmetrisch, <A*x,x> = <D*x,D*x> x^t entspricht der transponierte Vielen Dank für die Hilfe ! gruss michel |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 954 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 18:01: |
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michel, Vorschlag: A ist reell-symmetrisch und positiv definit. Daraus folgt : die Eigenwerte li , i=1,2,3, sind positiv. Ferner gibt es eine orthogopnale Matrix T, sodass Tt A T = diag(l1,l2,l3) =: D, und mit Tx = :y wird E = {y € R3 | yt D y £ r2 } Setzen wir ai := r/sqrt(li), so lautet die letztere Bedingung S3 i=1 yi2/ai2 £ 1. Daher ist Vol(E) = Volumen des 3-achsigen Ellipsoides mit den Hauptachsen ai => Vol(E) = 4pa1a2a3/3 Wegen det (A) = det (D) = l1l2l3 folgt die Behauptung. mfG Orion
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Michel (Michel)
Junior Mitglied Benutzername: Michel
Nummer des Beitrags: 18 Registriert: 05-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2005 - 18:30: |
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danke orion jetzt ist es klar. gruss michel |
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