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Teilbarkeit+Primzahlen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Lehramt Mathematik » Teilbarkeit+Primzahlen « Zurück Vor »

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Umay (Umay)
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Benutzername: Umay

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2005
Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2005 - 16:29:   Beitrag drucken

Hallo, ich hab hier zwei Aufgaben bei denen ich einfach nicht weiterkomme.

1) Seien a,b,c von Null verschiedene natürliche Zahlen, die der Gleichung a^3+b^3=c^3 genügen.Beweisen Sie 21/abc

2) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen a,b, für die a^3+b^3 eine Primzahl ist.Begründen Sie Ihre Antwort!

Ich hoffe, dass Ihr mir helfen könnt
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1064
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2005 - 16:53:   Beitrag drucken

a) a^3 + b^3 = c^3 <-- bist Du Dir sicher?

b) a^3 + b^3 = (a + b) * (a^2 - ab + b^2)
entweder a+b = 1 oder a^2-ab+b^2 = 1
a+b = 1 <-- für a,b aus IN immer falsch, daher

a^2 - ab + b^2 = 1
a^2 - ab + b^2 - 1 = 0
a1,2 = b/2 +/- sqrt( b^2/4 - b^2 + 1 )

b^2/4 - b^2 + 1 >= 0 muß gelten
-3b^2/4 + 1 >= 0
-3b^2/4 >= -1
3b^2/4 <= 1
b^2 <= 4/3
b = 1
=> a = 1
daher a+b = 2 und das ist die einzige Primzahl der Form a^3 + b^3

(Beitrag nachträglich am 03., Januar. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Umay (Umay)
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Benutzername: Umay

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2005
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 13:15:   Beitrag drucken

Hallo Mainzi,ja die Aufgabe steht so in meinen Unterlagen.

a^3+b^3=c^3. Beweisen Sie 21/abc
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1784
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 21:14:   Beitrag drucken

Sei a³ + b³ = c³.
Nach Herrrn Fermat (ja, das hat er noch selbst gekonnt!) folgt a = 0, b = 0 oder c = 0. Also gilt 21 | abc.

Z.
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1071
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 21:23:   Beitrag drucken

@Zaph, a,b,c sollen von 0 verschieden sein
und da gibts eigentlich keine Lsg. für a,b,c; die Frage ist dann halt, ob was nicht existentes durch 21 geteilt werden kann?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1786
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 21:31:   Beitrag drucken

Die Aussage "wenn a³ + b³ = c³ und a,b,c von 0 verschieden sind, dann ist 21 ein Teiler von abc" ist auf jeden Fall richtig ;-)
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1073
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 21:56:   Beitrag drucken

Ah ja,

die ganzzahligen Lösungen von e^x = pi sind durch 2 teilbar, mal so nebenbei erwähnt;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1787
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 23:05:   Beitrag drucken

Sagen wir besser so:

Alle ganzzahligen Lösungen von e^x = pi sind durch 2 teilbar.

Macht das einen Unterschied? Nö, eigentlich nicht! ;-)
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 950
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 14:56:   Beitrag drucken

Hallo,

Ich nehme an, dass sich der Aufgabensteller folgendes gedacht hat.

Wenn c3 = a3+b3, so ist sicher a‡b.
Man hat die Teilbarkeit von abc durch 3 und durch 7
zu diskutieren.

1. Teilbarkeit durch 3 : c3 = a3+b3 =>
c == a+b (mod 3) (Kleiner Fermat). Man prüft leicht
nach, dass ab(a+b) == 0 (mod 3).

2. Teilbarkeit durch 7 : Für alle x =|= 0 (mod 7) gilt
x3 == ±1 (mod 7). Wieder verifiziert man
leicht, dass abc == 0 (mod 7).
mfG Orion
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1788
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 18:36:   Beitrag drucken

Ja, bestimmt soll die Aufgabe so gelöst werden!

Die Sache mit der 7 ist klar. Aber wieso ist nach deiner Argumentation nicht
a = 1 mod 3
b = 1 mod 3
c = 2 mod 3
zulässig?

Z.
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 952
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 20:57:   Beitrag drucken

Zaph,

Ja, in der Tat : a‡ b genügt nicht. Man sollte
sogar a =|= b (mod 3) voraussetzen.
mfG Orion
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1791
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 21:39:   Beitrag drucken

Und wieso folgt aus a³ + b³ = c³ sicher, dass a != b mod 3? *aufdemschlauchsteh*
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 953
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2005 - 07:38:   Beitrag drucken

Zaph,

Das behaupte ich auch nicht. Vielmehr sollte
a =|= b (mod 3) zusätzlich vorausgesetzt werden,
damit der Schluss funktioniert.
Meine irrtümliche ursprüngliche Formulierung :"... so ist sicher a‡b " kam zustande, weil andernfalls
c3=2a3, was ja nicht geht.

Von höherer Warte aus hast du natürlich recht:
Da c3=a3+b3 unerfüllbar (Euler !), so folgt
gemäss dem Prinzip "ex falso quodlibet"
trivialerweise auch 21|abc.
mfG Orion

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