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Umay (Umay)
Neues Mitglied Benutzername: Umay
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 01-2005
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2005 - 16:29: |
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Hallo, ich hab hier zwei Aufgaben bei denen ich einfach nicht weiterkomme. 1) Seien a,b,c von Null verschiedene natürliche Zahlen, die der Gleichung a^3+b^3=c^3 genügen.Beweisen Sie 21/abc 2) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen a,b, für die a^3+b^3 eine Primzahl ist.Begründen Sie Ihre Antwort! Ich hoffe, dass Ihr mir helfen könnt |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1064 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2005 - 16:53: |
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a) a^3 + b^3 = c^3 <-- bist Du Dir sicher? b) a^3 + b^3 = (a + b) * (a^2 - ab + b^2) entweder a+b = 1 oder a^2-ab+b^2 = 1 a+b = 1 <-- für a,b aus IN immer falsch, daher a^2 - ab + b^2 = 1 a^2 - ab + b^2 - 1 = 0 a1,2 = b/2 +/- sqrt( b^2/4 - b^2 + 1 ) b^2/4 - b^2 + 1 >= 0 muß gelten -3b^2/4 + 1 >= 0 -3b^2/4 >= -1 3b^2/4 <= 1 b^2 <= 4/3 b = 1 => a = 1 daher a+b = 2 und das ist die einzige Primzahl der Form a^3 + b^3 (Beitrag nachträglich am 03., Januar. 2005 von mainziman editiert) Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Umay (Umay)
Neues Mitglied Benutzername: Umay
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 01-2005
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 13:15: |
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Hallo Mainzi,ja die Aufgabe steht so in meinen Unterlagen. a^3+b^3=c^3. Beweisen Sie 21/abc |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1784 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 21:14: |
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Sei a³ + b³ = c³. Nach Herrrn Fermat (ja, das hat er noch selbst gekonnt!) folgt a = 0, b = 0 oder c = 0. Also gilt 21 | abc. Z. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1071 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 21:23: |
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@Zaph, a,b,c sollen von 0 verschieden sein und da gibts eigentlich keine Lsg. für a,b,c; die Frage ist dann halt, ob was nicht existentes durch 21 geteilt werden kann? Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1786 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 21:31: |
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Die Aussage "wenn a³ + b³ = c³ und a,b,c von 0 verschieden sind, dann ist 21 ein Teiler von abc" ist auf jeden Fall richtig ;-) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1073 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 21:56: |
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Ah ja, die ganzzahligen Lösungen von e^x = pi sind durch 2 teilbar, mal so nebenbei erwähnt; Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1787 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 23:05: |
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Sagen wir besser so: Alle ganzzahligen Lösungen von e^x = pi sind durch 2 teilbar. Macht das einen Unterschied? Nö, eigentlich nicht! ;-) |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 950 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 14:56: |
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Hallo, Ich nehme an, dass sich der Aufgabensteller folgendes gedacht hat. Wenn c3 = a3+b3, so ist sicher ab. Man hat die Teilbarkeit von abc durch 3 und durch 7 zu diskutieren. 1. Teilbarkeit durch 3 : c3 = a3+b3 => c == a+b (mod 3) (Kleiner Fermat). Man prüft leicht nach, dass ab(a+b) == 0 (mod 3). 2. Teilbarkeit durch 7 : Für alle x =|= 0 (mod 7) gilt x3 == ±1 (mod 7). Wieder verifiziert man leicht, dass abc == 0 (mod 7). mfG Orion
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1788 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 18:36: |
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Ja, bestimmt soll die Aufgabe so gelöst werden! Die Sache mit der 7 ist klar. Aber wieso ist nach deiner Argumentation nicht a = 1 mod 3 b = 1 mod 3 c = 2 mod 3 zulässig? Z. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 952 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 20:57: |
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Zaph, Ja, in der Tat : a b genügt nicht. Man sollte sogar a =|= b (mod 3) voraussetzen. mfG Orion
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1791 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 21:39: |
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Und wieso folgt aus a³ + b³ = c³ sicher, dass a != b mod 3? *aufdemschlauchsteh* |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 953 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2005 - 07:38: |
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Zaph, Das behaupte ich auch nicht. Vielmehr sollte a =|= b (mod 3) zusätzlich vorausgesetzt werden, damit der Schluss funktioniert. Meine irrtümliche ursprüngliche Formulierung :"... so ist sicher ab " kam zustande, weil andernfalls c3=2a3, was ja nicht geht. Von höherer Warte aus hast du natürlich recht: Da c3=a3+b3 unerfüllbar (Euler !), so folgt gemäss dem Prinzip "ex falso quodlibet" trivialerweise auch 21|abc. mfG Orion
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