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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1717 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 10:28: |
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Hi, ich soll zeigen, das: S¥ n=0 1/(x2+n2) auf IR gleichmäßig konvergiert. Nun gilt ja x2+n2 ³ n2, also: 1/n2 ³ 1/(x2+n2) Also habe ich mit S¥ n=1 1/n2 eine absolut konvergente Majorante gefunden. Also konvergiert die Reihe gleichmäßig. Mein Frage is nur, wie verhält es sich für n=0, wie soll ich da die Reihe betrachten? Ich summiere die Reziproken der Quadrate ja erst ab 1! Man sieht ja das n = x = 0 ausgeschlossen werde muss. Sei aber x¹0, wie sieht es dann mit n=0 aus? Ich summiere dann unendlich oft 1/x2 auf... Was soll ich machen? Oder reicht die Angabe der konvergenten Majorante aus? Oder soll ich die Reihe so schreiben: S¥ n=0 1/(x2+n2) = 1/x2 + S¥ n=1 1/(x2+n2) und dann meine Abschätzung. Dann sieht man auch das x = 0 ausgeschlossen werden muss! Aber muss auch n = 0 ausgeschlossen werden?? Natürlich ist mir die Reihe bekannt aus dem Forum hier, aber da lief der Index ab 1... mfg |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2562 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 12:32: |
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|x| >0: 1/(x²+0) + 1/(x²+1²) + 1/(x²+2²) + ... Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1718 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 13:21: |
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Hi, also reicht es hier x = 0 auszuschliessen, dann gilt für fast alle n: 1/(x2+n2) £ 1/n2 also bin ich schon fertig...?? mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1697 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 14:47: |
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Hi Ferdi Ich bin der Meinung, dass das Weierstrass-Kriterium hier nicht funktioniert. Und zwar aus genau dem Grund, den du oben schon genannt hast. Wir finden kein passendes c0 aus IR, sodass |f0(x)|<c0 für alle x aus IR ohne 0. Die Funktionen 1/x2 (n=0) ist ja dummerweise nicht nach oben beschränkt ;) Ich würde hier das Cauchykriterium anwenden. Damit ist man nämlich das Problem mit dem Summanden mit n=0 los. MfG Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1719 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 16:15: |
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Hi Christian, dann machen wir es so: Sei m > n Sn i=0 1/(x2+i2) - Sm i=0 1/(x2+i2) = Sm i=n+1 1/(x2+i2) Nun gilt: 1/(x2+i2) £ 1/i2 Machen wir nun eine Indexverschiebung, so dass sie von n bis m-1 läuft, dann summieren wir über 1/(i+1)2. So dann: 1/(i+1)2 < 1/(i(i+1)) = 1/i - 1/(i+1) Also bekommen wir eine Teleskopsumme!! Sm i=n+1 1/(x2+i2) < Sm-1 i=n 1/i - 1/(i+1) = 1/n - 1/m < 1/n < 1/n0 < e Wenn wir also n0 > 1/e wählen ist die Cauchybedingung erfüllt! Also erfüllt diese Funktionenreihe die Cauchy Bedingung! Mich wunderte es nur! Die Aufgabe lief unter dem Titel: Weierstraß Kriterium für gleichmäßige Konvergenz! Aber diese Probleme mit dem Summationsindex sind dafür wohl unüberwindbar!! Hauptsache wir kommen doch noch zum Ziel. mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1698 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 17:06: |
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Hi Ferdi Ich merke gerade, dass ja gerade aus dem Cauchykriterium folgt, dass man beim Weierstraßschen Kritrium nur fast alle Funktionen 1/(x2+n2) abschätzen muss. Oder allgemeiner. Sei S¥ n=0 fn eine Reihe von Funktionen. Weiter sei (cn) eine Folge und S¥ n=0 cn eine absolut konvergente Reihe. Außerdem soll gelten: |fn(x)|£cn für alle x aus einem vorher gewählten Definitionsbereich und für alle n³N. Dann existiert zu e>0 ein K mit S¥ k=K |ck|<e. Damit folgt aber für m>n³K: |Sm k=0 fk - Sn k=0 fk| £ Sm k=n+1 |fk| £ Sm k=n+1 |ck|<e Und damit konvergiert die Reihe S¥ k=0 fk gleichmäßig. MfG Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1720 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 22:34: |
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Hi Christian, danke erstmal! Also können wir cn = 1/n2 als Majorante setzen und nutzen dann aus das die Folge Sm k=n+1 1/k2 eine Cauchyfolge ist. Aber dann habe ich immer noch das Problem das S¥ k=0 ck ab null laufen muss. Oder sehe ich das jetzt was falsch, oder sage ich für n³1 gilt...? Müssten wir x = 0 eigentlich aussen vor lassen?? mfg |