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Beitrag |
    
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1691
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Dezember, 2004 - 12:40: | 
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Hallo 
Kennt jemand eine gute Abschätzung des Binomialkoeffizienten (2n über n) nach oben? Ich würde damit gern zeigen, dass (2n über n)/4^n eine Nullfoge ist.
MfG
Christian |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1045
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Dezember, 2004 - 12:58: |
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(2n über n) = (2n)!/(n!)^2 ~
[nach Steyrling]
(2n/e)^(2n) / (n/e)^(2n) / sqrt(pi*n) =
4^n / sqrt(pi*n)
Du siehst was daraus wird?
Deine Folge konvergiert gegen etwa 1/sqrt(pi*n)
(Beitrag nachträglich am 16., Dezember. 2004 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1692
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Dezember, 2004 - 13:54: |
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Hi Mainzi
Vielen Dank für die Abschätzung Ich darf zwar Stirling nicht benutzen, aber das Ergebnis gibt schonmal einen Hinweis darauf wie ich meine Folge nach oben ausreichend abschätzen kann um zu zeigen, dass sie gegen Null konvergiert. Es funktioniert hier mit 1/n^(1/3) und Induktion.
MfG
Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4702
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Dezember, 2004 - 17:18: |
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Hi Christian, Hi Mainzimann
Im Folgenden bedeutet B(r,s): Binomialkoeffizient r über s.
Der so genannte mittlere Binomialkoeffizient
b(n) = B(2n, n) bietet immer wieder reizvolle und nützliche
Hilfen bei Reihenberechnungen.
Eine bescheidene Kostprobe möchte ich Euch nicht
vorenthalten.
Zunächst dies :
Eine einfache Abschätzung nach oben und unten lautet
3^(n-1) < b(n) < 4^n für n >= 1.
Die von Euch erwähnte asymptotische Formel
b(n) ~ 4^n / sqrt (Pi * n) kann auch mit Hilfe des
Walisischen Produkts nachgewiesen werden.
Dann noch dies:
Man kann b(n) umformen zu
b(n) = (-1)^n * 4^n * B(- ½ ,n), damit wird
aus dem Folgeglied
an =(2n über n) / 4^n der Term (-1)^n * B(- ½ ,n).
Miss Marple berechnet z.B. für n = 613 für beide Versionen je
a 613 = 0,02278275643….
Auch in der Zahlentheorie begegnen wir b(n).
Z.B. ist B(n+2,2) ein Teiler von 3*b(n) etc.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4703
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 2004 - 06:13: |
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Hi Christian, Hi Mainzimann
Die Namen der beiden berühmten englischen Mathematiker
aus dem 17./18.Jahrhundert,die in den vorausgehenden Texten
auftauchen, machen uns offenbar Schwierigkeiten
bei der Niederschrift.
Sie sollen jetzt hier in der gültigen Schreibweise
(alte und neue Orthographie!) richtig notiert werden.
James Stirling (1692-1770): schottischer Mathematiker,
Entdecker der berühmten Näherungsformel für n!
John Wallis (1616 – 1703) : Prediger in London,
dann Professor an der Uni Oxford, entdeckte die nach ihm
benannte Produktformel für ½ Pi im Jahr 1655.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4704
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 2004 - 06:44: |
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Hi Christian
Das allgemeinen Glied a(n)= (2n über n) / 4^n der
von Dir untersuchten Folge tritt auch in einer
bekannten Aufgabe der Stochastik in Erscheinung.
Das entsprechende Problem lautet:
Eine ideale Münze wird 2n mal geworfen.
Man ermittle die Wahrscheinlichkeit P, dass genau n mal
Zahl erscheint.
Lösung
Mit Hilfe der binomischen Verteilung nach Bernoulli
kommt als Lösung mit p = ½, q = 1 - p = ½ :
P = B(2n,n)*p^n * q^n =(1/4) ^ n * B(2n,n) = a(n).
MfG
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1049
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 2004 - 10:29: |
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Hi Megamath,
irgendwas is mir eh im Nachhinein spanisch vorgekommen mit der Orthographie von Stirling - war wohl ein Freud'scher verschreiber, hab da wohl an ein kleines Flüßchen gedacht, welches ein Nebenfluß der Steyr ist, welcher wiederum ein Nebenfluß der Enns ist, welche in Donau mündet;
Steyr ist auch Stadt - Sitz von BMW Austria
Enns ist auch Stadt - älteste Stadt von AUT, wurde bereits 1212 oder 1221 zur Stadt erhoben, gefolgt von Wien (damals bestehend aus dem heutigen 1ten Bezirk);
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1695
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 2004 - 20:14: |
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Hi Megamath
Vielen Dank für deine Erklärungen
MfG
Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4706
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Dezember, 2004 - 14:08: |
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Hi Mainziman
Vielen Dank für Deine Informationen bezüglich
Steyr.
Anregung:
Wir sollten Deine Assoziation nutzen und die
Mitarbeiter von zahlreich nächstes Jahr zu einem Symposium
an der Krummen Steyrling aufrufen.
Nahe liegender Gegenstand der Abhandlungen:
Die Formel von James Stirling, Beweis und Anwendungen.
Ich nehme an, dass Du die Organisation übernimmst.
In der Freizeit schlage ich Fliegenfischen vor, gemäß
http://oberoesterreich.anglerinfo.at/html/krumme_steyrling.html
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1053
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Dezember, 2004 - 17:30: |
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Hi Megamath ,
man lernt nie aus, Steyrling ist auch der Name eines Dorfes;
Steyr - Stadt mit eigenem Statut und mehr als 35000 Einwohner - Verkehrsanbindung über die Ennstalbahn über St. Valentin (Westbahn); Schienenentfernung von Linz nach Steyr: 44 km;
Steyrling - Dorf/Ortschaft, welche zur Gemeinde
Klaus an der Pyhrnbahn mit etwa 1100 Einwohner im pol. Bezirk Kirchdorf an der Krems gehört;
in Steyrling befindet sich weiters ein Kalkwerk der VOEST;
Verkehrsanbindung ist über die A9 der Pyhrnautobahn (Nordwest-Südost-Achse: A3 [Dtl.] - Suben - A8 Innkreisautobahn [Östr.] - Knoten Wels - A9 - Satledt, Voralpenkreuz [A1,A9] - Graz - ...)
bzw. über die Pyhrnbahn (Nord-Süd-Achse: Prag - Summerauerbahn - Linz - Pyhrnbahn - Selzthal - Graz - ...) - Schienenentfernung von Linz nach Steyrling: 63 km;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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