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Basis der Vektorraums IR über Q

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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1657
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 10:34:   Beitrag drucken

Hallo

Weiß einer von euch wie man eine Basis des Vektorraums der reellen Zahlen über dem Körper der rationalen Zahlen angeben kann?

MfG
Christian
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 487
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 22:35:   Beitrag drucken

Hi,

was genau meinst du mit "angeben" ? Eine schrittweise Konstruktion dürfte es schwerlich geben, da so eine Basis sicher nicht mehr abzählbar sein kann.

sotux
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1658
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 08:11:   Beitrag drucken

Hallo Sotux

Wir haben gerade den Satz bewiesen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Dann hat unser Professor obiges Beispiel angegeben, d.h. den Vektorraum der reellen Zahlen über dem Körper der rationalen Zahlen. Er meinte, dass wir nicht versuchen sollten eine Basis zu finden. Das wäre nicht ganz so einfach. Daraus habe ich geschlossen, dass man irgendwie so eine Basis angeben kann. Z.B. sowas in der Art wie "Man nehme alle transzendenten Zahlen als Basis"(stimmt hier natürlich nicht :-)).

MfG
Christian
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 490
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 03. Dezember, 2004 - 21:46:   Beitrag drucken

Hi Christian,

ich nehme an dein Prof hat sich was dabei gedacht euch die Suche nicht anzuraten, da muss man sicher tief in die Trickkiste greifen, wie hab ich leider auch keine Ahnung. Alles was über abzählbar hinausgeht ist halt arg sperrig.

sotux
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1709
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 19:37:   Beitrag drucken

Hi Christian,

lustigerweise habe ich diese Woche die selbe Aufgabe!

Meinst du ein möglicher Beweis zur nicht Existenz einer abzählbaren Basis wäre so möglich:

Annahme: IR besitzt eine abzählbare Basis.

Dann gibt es also eine Basis,so daß sich jedes Element r aus IR eindeutig als Linearkombination von abzählbar vielen Basisvektoren mit Koeffizienten aus Q darstellen lässt.
r = Sn i=1qiei.
Und hier liegt schon der Widerspruch.
Denn diese Linearkombination besteht aus abzählbar vielen Summanden, IR ist jedoch überabzählbar.
Dies ist ein Widerspruch und die Behauptung gilt,der Vektorraum IR über dem Körper Q besitzt keine abzählbare Basis.

Jetzt hänge ich nur daran zu zeigen das IR überhaupt ein Vektorraum über Q ist!

Also 0 € IR, das ist klar. Jetzt muss ich noch zeigen, das (IR,+,0) eine abelsche Gruppe ist und das gilt:

a) q*(x+y) = qx + qy , für q € Q und x,y € IR
b) (q+q')x = qx + q'x für q,q' € Q und x € IR
c) (qq')x = q(q'x) für q,q'€ Q und x € IR
d) 1*x = x für x € IR

Aber das ist doch eh so, da gibts es doch nichts zu bewiesen oder? Bin mir jetzt nicht sicher...

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1684
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 20:36:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Dann gibt es also eine Basis,so daß sich jedes Element r aus IR eindeutig als Linearkombination von abzählbar vielen Basisvektoren mit Koeffizienten aus Q darstellen lässt.

Es muss jedes r Linearkombination von endlich vielen Basisvektoren sein!
Und dann musst du zeigen, dass du durch Linearkombinationen nur eine abzählbare Menge von Elementen erhältst. Geht bestimmt wieder so ähnlich wie beim Cantorschen Diagonalisierungsverfahren.

Denn diese Linearkombination besteht aus abzählbar vielen Summanden, IR ist jedoch überabzählbar.

Das verstehe ich irgendwie nicht so ganz. Auch bei einer überabzählbaren Basis ist jede reelle Zahl Summe von endlich vielen Basisvektoren.

Jetzt hänge ich nur daran zu zeigen das IR überhaupt ein Vektorraum über Q ist!

Das ergibt sich eigentlich direkt, weil Q ja ein Teilkörper von IR ist. Dadurch gelten die ganzen Vektorraumgesetze ja automatisch.

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1710
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 21:02:   Beitrag drucken

Hm,

irgendwie bin ich im Moment total daneben[schon lange keine Klausuren mehr geschrieben ist wieder eine echte Umstellung!]:

Reicht nicht folgende Überlegung schon, wie du sagst:

Nach Cantor sind die Mengen Q, Q^2 , Q^3..Q^n abzählbar.

Also ist jeder endlich abzählbare Vektorraum über Q abzählbar, was der Überabzählbarkeit von IR entgegensteht!

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1685
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Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 22:22:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Also ist jeder endlich abzählbare Vektorraum über Q abzählbar

Was ist endlich abzählbar?

Meiner Meinung nach musst du immer noch eine Abzählung der Linearkombinationen finden. Wie du oben schon beschrieben hast sind Q, Q^2,...,Q^n abzählbar. Sei {a1n,a2n,a3n,...} eine Abzählung von Q^n.
Nun zähle wie folgt ab:
a11,a12,a21,a13,a22,a31,...
Also im Index erst Quersumme 2, dann 3, dann 4 usw.
Damit erreichst du offenbar alle Elemente aus Q^n für alle n aus IN. Nun kannst du aber jede Linearkombination aus n Basisvektoren gerade mit einem Element aus Q^n identifizieren, womit obige Abzählung einer Abzählung von IR entspricht. Und das steht jetzt im Widerspruch zur Überabzählbarkeit von IR.

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1711
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Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 09:12:   Beitrag drucken

Hi Christian,

das wird wohl die ganz richtige Lösung sein ! Danke.

Ich werde morgen den Prof noch mal anhauen, was er nun genau unter der Aufgabe versteht...

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1687
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Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 12:37:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Ich werde morgen den Prof noch mal anhauen, was er nun genau unter der Aufgabe versteht...

Mach das :-) Kannst ihn ja auch grad noch fragen ob man die Basis irgendwie angeben kann. Also durch irgendeine überabzählbare Menge.

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1712
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Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 12:41:   Beitrag drucken

Ok,

werde morgen abend Bericht erstatten.

mfg
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1713
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Dezember, 2004 - 15:38:   Beitrag drucken

Hi Christian,

ich muss dich leider enttäuschen! Es ist nicht möglich eine solche Menge anzugeben. Mein Prof sagt das ist halt das Problem mit überabzählbaren Mengen.

Er sagte auch man solle den Bewies etwas anders angehen! Man solle einen Wiederspruchsbeweis führen!

Also man soll annehmen, das eine solche Basis existiert. Dann müsste die Menge der Linearkombinationen abzählbar sein, und solle das zum Wiederspruch bringen mit der Überabzählbarkeit von IR.

Er meinte in diesem Beweis hier hätte man eine abzählbare Basis, und das würde so nicht hinhauen! Aber wie genau er das meinte, weiß ich nicht...er hat sich dann auch schön verdrückt, leider .

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1690
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Dezember, 2004 - 15:51:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

ich muss dich leider enttäuschen! Es ist nicht möglich eine solche Menge anzugeben. Mein Prof sagt das ist halt das Problem mit überabzählbaren Mengen.

Ok ;(

Also man soll annehmen, das eine solche Basis existiert. Dann müsste die Menge der Linearkombinationen abzählbar sein, und solle das zum Wiederspruch bringen mit der Überabzählbarkeit von IR.

Das ist doch das was wir gemacht haben:-) Wir nehmen an es gäbe eine abzählbare Basis mit Basisvektoren e1,e2,...

Jede reelle Zahl ist Linearkombination von endlich vielen Basisvektoren. D.h. jede reelle Zahl r lässt sich schreiben als
r=a1e1+a2e2+...+anen.
Mit dieser Schreibweise können wir aber r eindeutig mit dem n-Tupel (a1,...,an) aus Q^n identifizieren. D.h. man kann jeder reellen Zahl genau ein Element aus Q^n zuordnen mit einem n Element IN. Nur das führt eben gerade zum Widerspruch. Wir können nämlich wie oben beschrieben die Menge Q U Q^1 U Q^2 U Q^3 U... abzählen. Damit hätten wir aber auch eine Abzählung der reellen Zahlen gefunden.

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1714
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Dezember, 2004 - 16:25:   Beitrag drucken

Hi,

ich hatte mich auch gewundert...wenn man persönlich mit dem Prof spricht ist man meistens eh verwirrter als vorher . [Ich zumindest.]

Naja, kann mich ja nächstes Jahr nochmal dazu äussern wenn diese Aufgabe in der Übungsgruppe besprochen wird!

mfg
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1246
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Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Dezember, 2004 - 12:11:   Beitrag drucken

so, hier mal ein Beweisversuch meinerseits:

application/pdfR als Q Vektorraum
RalsQVR.pdf (46.5 k)


Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1247
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Dezember, 2004 - 12:21:   Beitrag drucken

Achso, die k Haken sind eine Spezialschreibweise von mir. Mit k Haken meine ich die Menge 1,...,k

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1249
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Dezember, 2004 - 22:30:   Beitrag drucken

mich würde eure Meinung zu meinem Beweisversuch interessieren.

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1696
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 14:01:   Beitrag drucken

Hi Niels

Finde den Beweis recht gut :-) Ist komplizierter als meiner, dafür ist die Aussage aber auch schön allgemein.
Eine Frage hätte ich trotzdem noch zum Beweis. Und zwar zur Stelle mit den unendlichen Mengen wo die 2 dran steht. Hast du dafür einen Beweis?

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1250
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 14:40:   Beitrag drucken

Hi Christian,

leider habe ich dazu keinen Beweis. Daher habe ich ja das auch als Fußnote nochmal vermerkt das diese Aussage nicht trivial sei und eigentlich noch bewiesen werden müsste. Wenn jemand aber einen Beweis dafür hätte wäre ich gerne bereit den dort als eine Art 2. Lemma einzuarbeiten.

Übrigens mit <X> meine ich das "Erzeugnis", den "Aufspann" von X. Das ist ja die Menge der Linearkombinationen. Ich hätte auch L(X) oder
Span(X) schreiben können. Je nach dem wie man die Bezeichnung gewohnt ist.

Gruß N.

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