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diophantische gleichungen

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jule
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 19:39:   Beitrag drucken

kann mir das mal bitte jemand erklären?
wir haben bei diophantischen gleichungen immer 2 lösungswege: einen über kongruenzen 8den vberstehe ich ja auch noch so einigermaßen) und einen mitm euklidischen algorithmus.

da kommt dann meistens irgendein ergebnis raus, das zwar lösung der gleichung, aber nicht des sachproblems ist, daraus kann man aber immer irgendwie (WIE?????????) so ne tabelle berechnen, wo dann auch lösungen zum sachproblem sind...
nur peil ich irgendwie nicht, wie man auf diese tabelle kommt... :-(

soll ich die aufgabe mal abschreiben, oder kann mir das auch so jemand erklären??
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1030
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 22:01:   Beitrag drucken

Also folgende Gleichung hat keine Lsg.

2x + 4y = 17

Warum?
der ggT( 2, 4 ) ist nicht Teiler von 17
hingegen folgende hat Lsg.

3x + 2y = 7

bei so einer Gleichung bin ich immer hergegangen und habe eine Variable durch einen Parameter ersetzt, und dabei den selben Koeffezienten genommen, wie die anderer Variable; sowie ein (noch) unbekannte Konstante addiert;

y = 3t + k

3x + 2(3t + k) = 7
3x + 6t + 2k = 7
3x = 7 - 2k - 6t

jetzt gilt es das k so zu bestimmen, daß 7 - 2k ein ganzzahliges Vielfaches von 3 ist;

7 - 2k == 0 (mod 3)
7 == 2k (mod 3)
1 == 2k (mod 3)

das finden des k's ist hier das Selbe wie das Finden des multiplikativen inversen zu 2;

1 * 1 == 1 (mod 3)
2 * 2 == 1 (mod 3)

daher: k = 2

Ok, hier waren die Zahlen einfach, aber bei nicht mehr ganz so einfachen Zahlen läuft das auf den Euklid hinaus;

daher lautet unsere Lsg.:

y = 3t + 2 und x = 1 - 2t

für beliebige t aus IZ bekommt man so alle Lsg. in IZxIZ
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*

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