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Sarah
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Dezember, 2004 - 13:08: | 
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Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen!
Ich muss zeigen:
1. Für alle n Element Von den natürlichen Zahlen:
1/(n+1)! < e- (1+ 1/1!+....+1/n!)< 2/(n+1)!
2. Soll man ein p so bestimmen, dass der betrag von e - (der summe von n=0 bis p) 1/n! < 10 hoch -8
3. und dann noch ob e irrational ist.
Ich hoffe echt das mir jemand helfen kann veralldingen wie ich auf die einzelnen Schritte komme nen Ergebnis einfach so bringt mir leider nichts!
Danke schon ma Gruß Sarah |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 939
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Dezember, 2004 - 15:49: |
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Sarah,
Hinweis : Benutze die Tylorpolynome
Tn(x) := Sn k=0 xn/n!
für die Exponentialfunktion. Dann gilt
ex = Tn(x) + Rn(x),
wobei
Rn(x) = eaxxn+1/(n+1)!
mit 0 < a < 1
das Restglied nach Lagrange ist. Speziell für x=1
haben wir also
1+1/1!+...+1/n! = Tn(1),
Rn(1) = ea/(n+1)! =>
1/(n+1)! < Rn(1) < e/(n+1)!.
Zu 3.: Nimm an, dass e = p/q mit natürlichen Zahlen p,q
und q > 1. Wähle n > q und erweitere die Gleichung
e = Tn(1) + Rn(1)
beiderseits mit n! . Das ergibt einen Widerspruch !
mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 940
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Dezember, 2004 - 08:07: |
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Nachtrag zur Ungleichung R1(n) < 2/(n+1)! :
wegen e<3 haben wir (s.o) :
e - Tn(1) < 3/(n+1)!
Ersetzen wir hierin n durch n+1, so gilt
e - Tn+1(1) < 3/(n+2)!
=> e - Tn(1) < 3/(n+2)! + 1/(n+1)!.
Nun ist aber 3/(n+2)! £ 1/(n+1)!
Also gilt wie behauptet sogar
1/((n+1)! < e-Tn(1) < 2/(n+1)!
mfG Orion
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