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Dat_jule (Dat_jule)
Neues Mitglied
Benutzername: Dat_jule
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 14:49: | 
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Hier bin ich mal wieder, ich hoffe ihr könnt mir wieder so gut weiterhelfen wie letztes mal..
1. Aufgabe:
Beweise, dass eine ungrade natürliche Zahl genau dann eine Primzahl ist, wenn sie nur eine einzige Darstellung als Differenz zweier Quadratzahlen besitzt.
2. Aufgabe:
Seien m eine ungerade natürliche Zahl und n eine beliebige natürliche Zahl.
Beweise ggT(2^m-1, 2^n+1)=1
Dankeschöön 
Jule |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1027
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 16:12: |
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1. Aufgabe
die Differenz 2er aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist immer ungerade:
(n+1)^2 - n^2 = 2n+1
(n+k)^2 - n^2 = 2kn + k^2 = k( 2n + k )
k( 2n + k ) ist durch k teilbar und kann nur für k = 1 eine Primzahl sein, und somit existiert dann nur eine einzige Darstellung;
2. Aufgabe
angenommen es gibt einen gemeinsamen Teiler, welcher nicht gleich 1 ist, dann hat auch die Summe diesen als Teiler;
2^m - 1 + 2^n + 1 = 2^m + 2^n
m = n: Widerspruch sofort sichtbar, weil keine der beiden gerade ist, und nur 2er Potenzen als Teiler existieren müssten;
m > n: 2^n * (2^(m-n) + 1), Widerspruch, denn 2^(m-n)+1 teilt weder 2^m-1 noch 2^n+1
m < n: 2^m * (2^(n-m) + 1), ebenso ein Widerspruch
daß m ungerade sein muß geht hier rein:
( 2^n+1) * (2^n - 1) = (2^(2n)-1) und es kann kein m = 2n geben, weil es ungerade sein muß!
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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