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Buzzy (Buzzy)
Neues Mitglied Benutzername: Buzzy
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 12-2004
| Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 2004 - 15:35: |
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Hallo. Ich bin neu hier, und hoffe, dass ihr mir bei dieser Aufgabe helfen könnt. Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich da was berechnen soll, aber dummerweise wird sie fast 75% des Zettels ausmachen... Der Prof sagte, dass wir diese Aufgaben bestimmt nicht lösen können, er uns aber für die Physik begeistern will und wir jetzt mal zusehen sollen, wo wir bleiben... Von Physik hab ich aber absolut keinen Schimmer... Also: Ein Massenpunkt bewegt sich zur Zeit t=0 im Nullpunkt des IR² mit der Anfangsgeschwindigkeit v=(v_1, v_2) (als Vektor!), v_1, v_2 >=0. Er unterliege der Beschleunigung b=(0,-g) durch die Gravitation. Berechne die Flugbahn c(t) des Massenpunktes 1)im reibungsfreien Fall 2)unter der Annahme, dass der Massenpunkt durch eine zu seiner Geschwindigkeit proportionalen Reibungskraft gebremst wird. 3)Berechne im reibungsfreien Fall die Länge der Flugbahn bis zum Aufprall auf die Erdoberfläche {(c_1(t_1),0)|t_1 € IR}. 4) Unter welchem Winkel muss der Massenpunkt bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit abfliegen, damit er möglichst weit entfernt auftritt? (reibungsfreier Fall). |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1660 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 2004 - 15:49: |
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Hallo Buzzy Versuchs am besten hier mal: www.physik4u.de . Da ist die Chance sicher größer, dass deine Aufgabe gelöst wird MfG Christian |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 928 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 07:42: |
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Buzzy, Hier ist ein Denkanstoss: Der Ortsvektor des Punktes zum Zeitpunkt t sei (x,y) = (x(t),y(t)). Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Masse m = 1 sei. Dann gelten die Differentialgleichungen x''(t) = 0 (es wirkt keine Kraft in x-Richtung) y''(t) = -g (in der Vertikalen wirkt die Schwerkraft). Durch 2-malige Intergration erhält man bei Berücksichtigung der Anfangsbedingungen (x(0),y(0)) = (0,0), (x'(0),y'(0)) = (v1,v2) : x = v1t , y = - (g/2)t2 + v2t. Das ist eine Parameterdarstellung der Bahnkurve. Eliminiert man t : t = x/v1, so erhält man die Gleichung der Bahnkurve ("Wurfparabel") in kartesischen Koordinaten : y = - (g/2/v12)x2 + (v2/v1)x mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4678 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 19:51: |
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Hi Buzzy Es folgen noch ein paar Ergänzungen zum Thema. Natürlich ist es unnötig, das Szepter den Physikern zu überlassen. Es ist Ehrensache, dass wir hier im Mathematikforum zum Rechten sehen; dies umso mehr, als Orion den physikalischen Teil zur Genüge besprochen hat. Ich verwende in den folgenden Ausführungen den so genannte Elevationswinkel a. Die ist der Winkel, den der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit t = 0 (im Ursprung O) mit der positiven x-Achse bildet Für a gilt 0 < a < ½ Pi. vo ist die gegebene Anfangsgeschwindigkeit. Wir notieren zwei Gleichungen für die Wurfparabel: I. Parameterdarstellung mit der Zeit t als Parameter, x = vo * t *cos a y = vo * t * sin a - ½ g * t^2 Die Konstante g ist die Erdbeschleunigung. Wir erkennen die Bewegung als Überlagerung (Superposition) zweier einfacher Bewegungen: in Richtung der x-Achse: gleichförmige Bewegung mit der konstanten Geschwindigkeit vo cos a in Richtung der y-Achse: senkrechter Wurf aufwärts. Wenn wir die Funktionen x =x (t) und y = y (t) nach t ableiten und die Resultate der Reihe nach so schreiben: x°(t) = vo cos a y°(t) = vo sin a – g t, so entstehen die beiden Komponenten vx und vy des Geschwindigkeitsvektors. Letzterer sieht also so aus: v = {vo cos a; vo sin a – g t}. Setze vy = 0, und löse nach t auf: Ergebnis: t = vo sin a / g Diesen Wert bezeichnen wir mit T und nennen ihn „Steigzeit “; T = vo sin a / g Die Flugzeit Z ist doppelt so groß, nämlich Z = 2 vo sin a / g Selbstverständlich gilt y(Z) = 0; siehe da, es stimmt! Wir erhalten die Steighöhe H als y-Wert für t = T: H = vo^2/ (2*g) * (sin a)^2 Wir erhalten die Wurfweite W als x–Wert für t = Z W = (vo)^2 / g * sin (2*a) II Eliminiert man den Parameter t, so entsteht der bekannte Typus der Gleichung einer Parabel mit vertikaler Achse, die quadratische Funktion in x: y = - g / [2 vo^2 (cos a)^2] * x^2 + x * tan a. Der Scheitel der Parabel hat die Koordinaten (U/V) mit U = ½ W = ½ (vo)^2 / g * sin (2*a) V = H = vo^2/ (2*g) * (sin a)^2 Prüfe alles nach! Vielleicht hat es Tippfehler! Die andern Fragen sind problematisch; ich komme morgen darauf zurück. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4679 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 20:04: |
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Hi Buzzy Kurz und Bündiges zur vierten Frage: Lässt man bei fester Anfangsgeschwindigkeit vo den Elevationswinkel a variieren,so erhält man die größte Wurfweite W* für a = ¼ Pi; sin (2a) erreicht hier den Maximalwert 1 ! Es kommt W*= vo^2 / g °°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4680 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 20:28: |
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Hi Buzzy Zum Abschluss des heutigen Tages kommt doch noch ein wenig Physik im M-Forum, hihi: Du kannst die Wurfhöhe H auch mit dem Energiesatz rechnen. Niveau null für potentielle Energie: x-Achse Beim Start in O : nur kinetische Energie Eo kin = ½ m vo^2 Im Scheitel S der Wurfparabel: potentielle Energie Epot = mg H und kinetische Energie ½ m vo^2 *(cos a)^2 Aus Eo kin = Epot + ½ m vo^2 *(cos a)^2 folgt H = vo^2/ (2*g) * (sin a)^2,wie früher. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4681 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 07:20: |
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Hi Buzzy Die Frage 3) abschließend zu beantworten, ist nicht so einfach. Es geht um die Berechnung der Länge L eines Parabelbogens und das ist eine Sache per se. Wir berechnen das Bogenelement ds der Wurfparabel (ds)^2 = x°(t)^2 + y°(t)^2 x° und y° sind die Ableitungen von x(t) und y(t). Wir haben diese Ableitungen früher schon berechnet: x°(t) = vo cos a y°(t) = vo sin a – g t, Wir quadrieren, addieren und vereinfachen; Resultat: (ds)^2 = vo^2 - 2*vo*sin(a) * g * t + g^2 * t^2 daraus ds = sqrt [vo^2 - 2*vo*sin(a) * g * t + g^2 * t^2] Die gesuchte Bogenlänge L findet man durch Integration dieses Wurzelterms nach t in den Grenzen t = 0 unten und t = Z = 2 vo sin a / g oben Die Berechnung von L überlassen wir einem CAS! Mit freundlichen Grüßen H.R.Mose,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 929 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 08:34: |
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Hallo, Lösungsvariante zu 3),4) : Der Massenpunkt trifft zum Zeitpunkt T = 2v2/g im Punkt (x(T),0) auf, wobei x(T) = (2/g)v1v2 Ist v0 := sqrt(v12+v22) die gegebene Anfangsgeschwindigkeit, so soll x(T), oder also (v1v2)2 = v12(v02- v12) maximal werden. Das ist offenbar genau für v1 = v2 = v0/sqrt(2) der Fall. Daher j = p/4. Die Länge der Wurfbahn ist s = ò0 T sqrt[v12-(v2-gt)2] dt Substituiere [gt-v2]/v1 =: u. Dann wird s = (2v12/g)*F(v2/v1), wobei F(u) = (1/2)[u sqrt(1+u2) + ln(u+sqrt(1+u2))] die bekannte Stammfunktion von sqrt(1+u2) ist. Was den Fall "mit Reibung" betrifft, so verstehe ich die Physik nicht hinreichend: wie soll die Reibungskorrektur k v (v=sqrt(x'2+y'2)) in den Dgln. berücksichtigt werden ? Vielleicht doch eine Frage an Physiker. mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4682 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 09:55: |
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Hi Orion Einige Bemerkungen zum so genannten ballistischen Problem, dem wir u.a. in der Artillerie begegnen. Eine Anleihe bei den Physikern besagt, dass der Widerstandsvektor dem Geschwindigkeitsvektor entgegengesetzt ist. Der Betrag ist dem QUADRAT der Geschwindigkeit proportional. Sei f der Proportionlitätsfaktor, so erhält man die folgenden Bewegungsdfferentialgleichungen: m x°° = - f x° * sqrt [x°^2 + y°^2] m y°° = - mg - f y° * sqrt [x°^2 + y°^2] m ist die Masse des Geschosses x°,y° sind die ersten und x°°,y°° die zweiten Ableitungen von x(t),y(t) nach t. Diese DGLn sind sehr schwierig zu lösen Es entstehen ballistische Kurven. Das Typische daran: die Kurven fallen wesentlich steiler ab, als sie ansteigen. Ich komme später ev. auf einen Spezialfall zurück, der interessant und schwierig genug ist, coram publico vorgeführt zu werden. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4683 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 12:50: |
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Hi Zwischendurch eine Ergänzung zur Kurvenschar der Wurfparabeln. Es fällt auf, dass es zwei zueinander komplementäre Elevationswinkel a und b gibt, welche dieselben Wurfweiten erzeugen. Für a+b = ½ Pi gilt nämlich für die Wurfweiten (vo)^2 / g * sin (2*a) = (vo)^2 / g * sin (2*b). Bezüglich der Wurfweiten kann dasselbe erreicht warten mit Winkeln a aus der „unteren“ Winkelgruppe mit 0 < a <¼ Pi und entsprechenden Winkeln der „obern“ Gruppe, für welche ¼ Pi < b < ½ Pi gilt. Wir sprechen von einer Flachbahn bzw. einer Steilbahn. Die Enveloppe der Steilbahnen heißt Sicherheitsparabel. Ihre Daten können mit dem bekannten Verfahren für Hüllkurven leicht ermittelt werden. Der Scheitel S dieser Parabel liegt auf der y-Achse; es ist der Punkt S( 0 / vo^2/(2g)). Die Parabel schneidet die x-Achse im Punkt M(vo^2 /g ; 0). Viel Vergnügen beim Nachrechnen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 931 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 14:00: |
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Megamath, In Anbetracht der gegebenen Aufgabenstellung hatte ich mit dem Ansatz x'' = - f x' , y'' = -g - f y' (m=1, x' = dx/dt,...) gespielt, obgleich mir noch erinnerlich war (einige geschätzte ehemalige Kollegen waren immerhin hohe CH-Artillerieoffizere !) dass physikalisch gesehen der Widerstandsvektor dem Betrag nach proportional zu v2, also = - f*(x',x')*v (v := sqrt(x'2+y'2) ist. mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 932 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 14:40: |
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Die Lösung des obigen "vereinfachten" Systems bereitet übrigens keine Schwierigkeiten : Eine erste Integration liefert x' + f*x = v1 , y' + f*y = -gt + v2 und im nächsten Schritt hat man x(t) = v1(1-e-ft)/f y(t) = -(g/f)t + (g/f+v2)(1-e-ft)/f Zur Probe lassen wir f®0 gehen. Wegen (1-e-ft)/f = t + (1/2)ft2 + O(f2) kommt dann richtig die reibungsfreie Lösung heraus. mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4685 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 14:55: |
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Hi Orion Der Barbaratag (4.Dezember),der Tag zu Ehren der heiligen Barbara, Schutzgöttin der Artillerie, liegt noch nicht weit zurück. Darum ist es gegeben, als Trockenübung, noch ein wenig über die ballistischen Kurven zu reden. Ihre Form verdankt sie tatsächlich der Tatsache, dass der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Bahngeschwindigkeit ist. Das wussten natürlich auch Deine Kollegen als Insider. Einfluss auf die Kurve nimmt aber auch der Luftdruck. All dies ad hoc rechnerisch zu berücksichtigen, ist kaum möglich. Aber es gibt Behelfe: Erwähnen möchte ich Nomogramme und Tabellen aller Art. sowie mechanische Schiesselementenrechner,so genannte SER-Geräte, die kaum zu schleppen waren. Das ist jetzt passé ; alles wird elektronisch erledigt. Ich bin immer noch auf der Suche nach den einschlägigen mathematischen Berechnungsmöglichkeiten. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4686 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 15:23: |
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Hi Orion Du hat eine ganz tolle Herleitung für den „einfacheren Fall“ gezeigt; Anerkennung und Dank. Ich befürchte, der ballistische Fall ist resistenter oder gar renitent. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4687 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 19:17: |
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Hi Orion Ich habe eine mögliche Lösung für das ballistische Problem gefunden; sie ist aber noch auf Herz und Nieren zu prüfen; für die Richtigkeit kann ich keine Gewähr bieten. Mit Vo = vo cos a gilt ev.: y = g / (4 f^2*Vo^2) + [ g / (2 f * Vo^2) + tan a] * x - g / (4 f^2*Vo^2) * e ^ (2 f x). MfG H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1696 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 20:22: |
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Hi megamath, wir hatten zuletzt auch eine Aufgabe, so ähnlich: Es ging um einen Fallschirmspringer der Masse m, der sich aus dem Flugzeug fallen lässt. Auf ihn wirkt dann die Erdanziehung -mg und die Luftreibung -a*v. a>0 und v = dz/dt die Fallgeschwindigkeit. Dann lautet nach Newton die Bewegunggsgleichung für v: mv° = -mg - av so hatten wir es zumindest in der Vorlesung! Mit der Lösung für v(0)=0, z(0)=z0: v(t) = [ e^(-at/m) - 1 ]* (mg/a) eine weiter Integration liefert dann eine ähnlich Lösung wie deine! Also wird das wohl stimmen! mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 934 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 09:03: |
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Hallo Megamath, Interessant ! Ich habe mit dem System x'' = -f*x'v , y''+g = - f*y'v nur noch ein wenig herumgespielt und gewann den Eindruck, dass eine explizite Lösung wohl nicht so einfach zu bekommen ist. Mehr als z.B. dE/dt = - f*v3 (E:= gy + v2/2 = Gesamtenergie) ist dabei nicht herausgekommen. Vielleicht fällt mir noch etwas gescheiteres dazu ein (Beitrag nachträglich am 07., Dezember. 2004 von orion editiert) (Beitrag nachträglich am 07., Dezember. 2004 von orion editiert) mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4688 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 09:39: |
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Hi Orion Ich habe auch mächtig herumgespielt; das Meiste ist im Papierkorb gelandet. Ich habe den Eindruck, dass wegen gewisser Integrale die Schlussformel gar nicht geschlossen dargestellt werden kann. An einer bestimmten Stelle musste ich voraussetzen, dass der Elevationswinkel „klein“ ist! Andrerseits macht die Formel, die ich schließlich erhielt, unter dieser Einschränkung, keinen so schlechtren Eindruck. Sie erträgt, wenn ich mich nicht irre,auch den Grenzübergang f gegen null. An einem numerischen Beispiel liess ich Miss Marple Aufzeichnungen machen. Es erschien immerhin das typische Bild einer ballistischen Kurve. So viel auf Anhieb Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4689 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 21:01: |
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Hi Orion Neues zur Ballistikkurve. Es zeigt sich, dass die Darstellung mit Hilfe von p = dy/dx = y°/x° sehr hilfreich ist. Als Teilresultat erwähne ich die Beziehung (g / f) * 1 / (x°)^2 = - 2 * int [sqrt (1 + p^2) dp] + C Eire Herleitung und eine (hoffentlich) erfolgreiche Weiteführung erfolgen später. Inzwischen Mit besten Grüssen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4690 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 21:56: |
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Hi Orion Es geht noch ein bisschen weiter: Für das Integral int [sqrt(1 + p’2)] dp wählen wir die Stammfunktion = ½ [p + sqrt(1+p^2)]+ ½ ln [p + sqrt(1+p^2)] und schreiben dafür zur Abkürzung ½ M. Damit kommt: x° = sqrt(g/f) / sqrt(C-M); wegen y° = p * x° analog y° = sqrt(g/f) * p / sqrt(C-M) . MfG H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 936 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 09:16: |
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Megamath, Wenn ich Deinen Ansatz nachvollziehe, komme ich auf folgendes. Eliminiere ich v aus meinen Dgln, so kommt x''y' - x'y'' = g x' Mit y' = p x' => y'' = p'x' + px'' ergibt sich dann p'x' = - g => x'' = - gp''/p'2. Setzt man dies in die Dgl. für x ein, so hat man die relativ einfache Dgl p'' = fg sqrt(1+p2) oder (nach erweitern mit p') (d/dt)(p'2) = 2fg sqrt(1+p2) p' = fg(d/dt)[p*sqrt(1+p2+ln(p+sqrt(1+p2))] => p'2 = fg[p*sqrt(1+p2)+ln(p+sqrt(1+p2)]+C mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4691 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 09:49: |
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Hi Orion Genau so habe ich auch operiert: Gedankenübertragung. Damit sind wir offenbar auf gutem Weg und nahe beim Ziel. Ich werde bei Gelegenheit auf einem neuen THREAD die Sache von Anfang an aufrollen,sodass auch Zuschauer davon profitieren. Vielen Dank für Deine Hilfen. MfG H.R.Moser,megamath |