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Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 112
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 11:32: | 
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Hallo,
ich habe eine Aufgabe die lautet:
Entscheiden Sie, welche der folgenden Teilmengen U_i der jeweiligen K_i-Vektorräume V_i Untervektorräume sind, und geben Sie eine kurze Begründung an.
Ich schreibe mal von den Aufgaben 2 hin.
a)
U_1 := {(a,b,c) E R^3 | 5a + 3b - c = 0} c R^3 =:V_1, K_1 = R.
b)
U_2 := {(a,b,c) E C^3 (komplexe) | 5a + 3b - c = 0} c C^3 =:V_2, K_2 = C.
Ich weiß dass es sich dann um Unterrvektorräume handelt, wenn sie durch 0 gehen, aber ich habe keine Ahnung wie man das hier rauslesen kann.
zum beispiel zu a)
das nullelement ist ja (0,0,0). das gehört
zu U_1, da 5*0 +3*0 -0 =0
daraus allein kann ich nun keine schlüsse ziehn... muss ich also auf eine andere art zeigen. aber wie?
Würde mich freuen wenn mir jemand zeigt wie das "exemplarisch" geht.
Danke!! |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 501
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 21:11: |
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Hi,
du musst nur zeigen, dass du weder mit Addition noch mit skalarer Multiplikation aus den Mengen rauskommst. Deine Beispiele sind aber als Kerne linearer Funktionen gegeben und da sieht man das ganz zwanglos: Lx=0 und Ly=0 ==> L(x+y)=0 und L(ax)=0 für jedes a aus K.
sotux |
Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 23:51: |
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Ja die beiden Aufgaben unterscheiden sich gar nicht außer dem C und R. Wollte man uns also nur mehr "verwirren" ?
Kann ich bei der b) einfach schreiben, dass es das gleiche ist wie a) da es sich bei beiden um Lösungsmengen von linearen homogenen Gleichungen handelt?
Ich habe a) so gelöst:
Wenn (a,b,c) und (d,e,f) elemente aus U_1 sind, dann muss gelten:
5a+3b-c =0
5d+3e-f=0
Ich teste auch ob auch (a,b,c) + (d,e,f) =(a+d,b+e,c+f) ein element von U_1 ist, d.h. das muss die gleiche bedingung erfüllen.
5(a+d) +3(b+e) -(c+f) = (5a+3b-c) + (5d+3e-f) = 0+0 =0
somit ist auch (a,b,c) + (d,e,f) ein element von U_1.
für jeden skalar s ist auch s(a,b,c) = (sa,sb,sc) ein element von U_1.
5 (sa) +3 (sb -(sc) = s(5a+3b-c) =s *0 =0
und somit ist auch s(a,b,c) ein element von U_1,
und somit ist U_1 ein untervektorraum.
So ok ?
Ich habe eine Aufgabe an der ich schon 1 Stunde sitze und nichts vernünftiges auf die Beine bekomme. Und zwar:
U:= Q[x] c R[x]=: V,K=R.
Vielen Dank dir für deine Hilfe! |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1030
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 23:58: |
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ja, so ist es richtig.
Zu deiner zweiten Aufgabe: Das ist kein Vektorraum, da er nicht abgeschlossen bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar ist.
xÖ2 ist zum Beispiel kein rationales Polynom. |
Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 114
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 08:29: |
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Also mit dem Beispiel meinst du x² oder?
Kann man das irgendwie beweisen? Oder reicht in der Regel so eine Begründung? |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1032
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 14:13: |
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Ich weiss nicht, was Du mit x² meinst.
x ist doch offensichtlich ein Polynom aus Q[x] und da als Körper IR vorgegeben ist, muss demnach auch x*Wurzel(2) ein Element der Menge sein, wenn es ein Unterraum ist. Das ist aber offensichtlich nicht der Fall, also ist Q[x] kein Vektorraum über IR. |
Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 115
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 16:34: |
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Also was ich mit x² meinte ist folgendes:
Du hast geschrieben:
"xÖ2 ist zum Beispiel..."
Ich weiß nicht was du mit dem xÖ2 meinst.
Also bedeutet das jetzt, dass ich mir eine Zahl nehme die reell aber nicht rational ist, z.b. sqrt(2), dann irgendein beliebiges Polynom aus Q[x], z.b. 1. Und dann bekomme ich sqrt(2)*1 = sqrt(2) und das ist kein Element aus Q[x].
Danke dir!! |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1668
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 18:25: |
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Hallo
Also bedeutet das jetzt, dass ich mir eine Zahl nehme die reell aber nicht rational ist, z.b. sqrt(2), dann irgendein beliebiges Polynom aus Q[x], z.b. 1. Und dann bekomme ich sqrt(2)*1 = sqrt(2) und das ist kein Element aus Q[x].
Stimmt alles 
Übrigens sollte xÖ2 gerade x*sqrt(2) bedeuten. Ingo hatte dafür ein Formelzeichen benutzt, was aber nicht in allen Browsern richtig dargestellt wird. (Ich glaube in Opera funktioniert es z.B. nicht).
MfG
Christian |
Merci (Merci)
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Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 116
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 20:06: |
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Achso.
Danke für die Info. Ich habe den Netscape. |
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