Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Flugbahn im IR²

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Sonstiges » Flugbahn im IR² « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Buzzy (Buzzy)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Neues Mitglied
Benutzername: Buzzy

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 2004 - 15:35:   Beitrag drucken

Hallo.

Ich bin neu hier, und hoffe, dass ihr mir bei dieser Aufgabe helfen könnt. Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich da was berechnen soll, aber dummerweise wird sie fast 75% des Zettels ausmachen... Der Prof sagte, dass wir diese Aufgaben bestimmt nicht lösen können, er uns aber für die Physik begeistern will und wir jetzt mal zusehen sollen, wo wir bleiben... Von Physik hab ich aber absolut keinen Schimmer...

Also:
Ein Massenpunkt bewegt sich zur Zeit t=0 im Nullpunkt des IR² mit der Anfangsgeschwindigkeit v=(v_1, v_2) (als Vektor!), v_1, v_2 >=0. Er unterliege der Beschleunigung b=(0,-g) durch die Gravitation. Berechne die Flugbahn c(t) des Massenpunktes
1)im reibungsfreien Fall
2)unter der Annahme, dass der Massenpunkt durch eine zu seiner Geschwindigkeit proportionalen Reibungskraft gebremst wird.
3)Berechne im reibungsfreien Fall die Länge der Flugbahn bis zum Aufprall auf die Erdoberfläche {(c_1(t_1),0)|t_1 € IR}.
4) Unter welchem Winkel muss der Massenpunkt bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit abfliegen, damit er möglichst weit entfernt auftritt? (reibungsfreier Fall).
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Christian_s (Christian_s)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1660
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 2004 - 15:49:   Beitrag drucken

Hallo Buzzy

Versuchs am besten hier mal: www.physik4u.de . Da ist die Chance sicher größer, dass deine Aufgabe gelöst wird :-)

MfG
Christian
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 928
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 07:42:   Beitrag drucken

Buzzy,

Hier ist ein Denkanstoss: Der Ortsvektor des Punktes
zum Zeitpunkt t sei (x,y) = (x(t),y(t)). Zur Vereinfachung
nehmen wir an, dass die Masse m = 1 sei. Dann
gelten die Differentialgleichungen

x''(t) = 0 (es wirkt keine Kraft in x-Richtung)

y''(t) = -g (in der Vertikalen wirkt die Schwerkraft).

Durch 2-malige Intergration erhält man bei Berücksichtigung der Anfangsbedingungen (x(0),y(0))
= (0,0), (x'(0),y'(0)) = (v1,v2) :

x = v1t , y = - (g/2)t2 + v2t.

Das ist eine Parameterdarstellung der Bahnkurve.
Eliminiert man t : t = x/v1, so erhält man die
Gleichung der Bahnkurve ("Wurfparabel") in kartesischen Koordinaten :

y = - (g/2/v12)x2 + (v2/v1)x
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4678
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 19:51:   Beitrag drucken

Hi Buzzy

Es folgen noch ein paar Ergänzungen zum Thema.
Natürlich ist es unnötig, das Szepter den Physikern
zu überlassen.
Es ist Ehrensache, dass wir hier im Mathematikforum
zum Rechten sehen; dies umso mehr, als Orion den
physikalischen Teil zur Genüge besprochen hat.

Ich verwende in den folgenden Ausführungen
den so genannte Elevationswinkel a.
Die ist der Winkel, den der Geschwindigkeitsvektor
zur Zeit t = 0 (im Ursprung O) mit der positiven
x-Achse bildet
Für a gilt 0 < a < ½ Pi.
vo ist die gegebene Anfangsgeschwindigkeit.

Wir notieren zwei Gleichungen für die Wurfparabel:

I.
Parameterdarstellung mit der Zeit t als Parameter,
x = vo * t *cos a
y = vo * t * sin a - ½ g * t^2

Die Konstante g ist die Erdbeschleunigung.

Wir erkennen die Bewegung als Überlagerung (Superposition)
zweier einfacher Bewegungen:
in Richtung der x-Achse: gleichförmige Bewegung mit der
konstanten Geschwindigkeit vo cos a
in Richtung der y-Achse: senkrechter Wurf aufwärts.

Wenn wir die Funktionen x =x (t) und y = y (t) nach t
ableiten und die Resultate der Reihe nach so schreiben:
x°(t) = vo cos a
y°(t) = vo sin a – g t,
so entstehen die beiden Komponenten vx und vy
des Geschwindigkeitsvektors.
Letzterer sieht also so aus:
v = {vo cos a; vo sin a – g t}.
Setze vy = 0, und löse nach t auf:
Ergebnis:
t = vo sin a / g
Diesen Wert bezeichnen wir mit T und nennen ihn
„Steigzeit “;
T = vo sin a / g
Die Flugzeit Z ist doppelt so groß, nämlich
Z = 2 vo sin a / g
Selbstverständlich gilt y(Z) = 0; siehe da, es stimmt!

Wir erhalten die Steighöhe H als y-Wert für t = T:
H = vo^2/ (2*g) * (sin a)^2

Wir erhalten die Wurfweite W als x–Wert für t = Z
W = (vo)^2 / g * sin (2*a)


II

Eliminiert man den Parameter t, so entsteht der bekannte
Typus der Gleichung einer Parabel mit vertikaler Achse,
die quadratische Funktion in x:
y = - g / [2 vo^2 (cos a)^2] * x^2 + x * tan a.

Der Scheitel der Parabel hat die Koordinaten (U/V)
mit
U = ½ W = ½ (vo)^2 / g * sin (2*a)
V = H = vo^2/ (2*g) * (sin a)^2

Prüfe alles nach! Vielleicht hat es Tippfehler!

Die andern Fragen sind problematisch;
ich komme morgen darauf zurück.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4679
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 20:04:   Beitrag drucken

Hi Buzzy

Kurz und Bündiges zur vierten Frage:
Lässt man bei fester Anfangsgeschwindigkeit vo den
Elevationswinkel a variieren,so erhält man die
größte Wurfweite W* für a = ¼ Pi;
sin (2a) erreicht hier den Maximalwert 1 !
Es kommt
W*= vo^2 / g
°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4680
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 20:28:   Beitrag drucken

Hi Buzzy

Zum Abschluss des heutigen Tages kommt doch
noch ein wenig Physik im M-Forum, hihi:
Du kannst die Wurfhöhe H auch mit dem Energiesatz
rechnen.
Niveau null für potentielle Energie: x-Achse
Beim Start in O : nur kinetische Energie
Eo kin = ½ m vo^2
Im Scheitel S der Wurfparabel: potentielle Energie
Epot = mg H und kinetische Energie ½ m vo^2 *(cos a)^2
Aus Eo kin = Epot + ½ m vo^2 *(cos a)^2 folgt
H = vo^2/ (2*g) * (sin a)^2,wie früher.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4681
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 07:20:   Beitrag drucken

Hi Buzzy

Die Frage 3) abschließend zu beantworten, ist nicht so einfach.
Es geht um die Berechnung der Länge L eines Parabelbogens
und das ist eine Sache per se.

Wir berechnen das Bogenelement ds der Wurfparabel

(ds)^2 = x°(t)^2 + y°(t)^2
x° und y° sind die Ableitungen von x(t) und y(t).
Wir haben diese Ableitungen früher schon berechnet:
x°(t) = vo cos a
y°(t) = vo sin a – g t,
Wir quadrieren, addieren und vereinfachen;
Resultat:
(ds)^2 = vo^2 - 2*vo*sin(a) * g * t + g^2 * t^2
daraus
ds = sqrt [vo^2 - 2*vo*sin(a) * g * t + g^2 * t^2]

Die gesuchte Bogenlänge L findet man durch Integration
dieses Wurzelterms nach t in den Grenzen
t = 0 unten und t = Z = 2 vo sin a / g oben
Die Berechnung von L überlassen wir einem CAS!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Mose,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 929
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 08:34:   Beitrag drucken

Hallo,

Lösungsvariante zu 3),4) :

Der Massenpunkt trifft zum Zeitpunkt

T = 2v2/g

im Punkt (x(T),0) auf, wobei

x(T) = (2/g)v1v2

Ist v0 := sqrt(v12+v22)

die gegebene Anfangsgeschwindigkeit, so soll x(T),
oder also

(v1v2)2 = v12(v02- v12)

maximal werden. Das ist offenbar genau für

v1 = v2 = v0/sqrt(2)

der Fall. Daher j = p/4.

Die Länge der Wurfbahn ist

s = ò0 T sqrt[v12-(v2-gt)2] dt

Substituiere [gt-v2]/v1 =: u. Dann wird

s = (2v12/g)*F(v2/v1),

wobei

F(u) =

(1/2)[u sqrt(1+u2) + ln(u+sqrt(1+u2))]

die bekannte Stammfunktion von sqrt(1+u2) ist.

Was den Fall "mit Reibung" betrifft, so verstehe ich
die Physik nicht hinreichend: wie soll die Reibungskorrektur k v (v=sqrt(x'2+y'2)) in
den Dgln. berücksichtigt werden ? Vielleicht doch
eine Frage an Physiker.
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4682
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 09:55:   Beitrag drucken

Hi Orion

Einige Bemerkungen zum so genannten ballistischen Problem,
dem wir u.a. in der Artillerie begegnen.

Eine Anleihe bei den Physikern besagt, dass der Widerstandsvektor
dem Geschwindigkeitsvektor entgegengesetzt ist.
Der Betrag ist dem QUADRAT der Geschwindigkeit proportional.
Sei f der Proportionlitätsfaktor, so erhält man die folgenden
Bewegungsdfferentialgleichungen:

m x°° = - f x° * sqrt [x°^2 + y°^2]
m y°° = - mg - f y° * sqrt [x°^2 + y°^2]

m ist die Masse des Geschosses
x°,y° sind die ersten und x°°,y°° die zweiten Ableitungen
von x(t),y(t) nach t.

Diese DGLn sind sehr schwierig zu lösen
Es entstehen ballistische Kurven.
Das Typische daran: die Kurven fallen wesentlich steiler ab,
als sie ansteigen.


Ich komme später ev. auf einen Spezialfall zurück, der
interessant und schwierig genug ist, coram publico
vorgeführt zu werden.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4683
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 12:50:   Beitrag drucken

Hi

Zwischendurch eine Ergänzung zur Kurvenschar
der Wurfparabeln.

Es fällt auf, dass es zwei zueinander komplementäre
Elevationswinkel a und b gibt, welche dieselben
Wurfweiten erzeugen.
Für a+b = ½ Pi gilt nämlich für die Wurfweiten
(vo)^2 / g * sin (2*a) = (vo)^2 / g * sin (2*b).

Bezüglich der Wurfweiten kann dasselbe erreicht
warten mit Winkeln a aus der „unteren“ Winkelgruppe
mit 0 < a <¼ Pi und entsprechenden Winkeln
der „obern“ Gruppe, für welche ¼ Pi < b < ½ Pi gilt.
Wir sprechen von einer Flachbahn bzw. einer Steilbahn.

Die Enveloppe der Steilbahnen heißt Sicherheitsparabel.
Ihre Daten können mit dem bekannten Verfahren für
Hüllkurven leicht ermittelt werden.
Der Scheitel S dieser Parabel liegt auf der y-Achse;
es ist der Punkt S( 0 / vo^2/(2g)).
Die Parabel schneidet die x-Achse im Punkt M(vo^2 /g ; 0).
Viel Vergnügen beim Nachrechnen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 931
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 14:00:   Beitrag drucken

Megamath,

In Anbetracht der gegebenen Aufgabenstellung
hatte ich mit dem Ansatz

x'' = - f x' , y'' = -g - f y' (m=1, x' = dx/dt,...)

gespielt, obgleich mir noch erinnerlich war (einige geschätzte ehemalige Kollegen waren immerhin hohe
CH-Artillerieoffizere !) dass
physikalisch gesehen der Widerstandsvektor dem Betrag nach proportional zu v2, also
= - f*(x',x')*v (v := sqrt(x'2+y'2) ist.
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 932
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 14:40:   Beitrag drucken

Die Lösung des obigen "vereinfachten" Systems
bereitet übrigens keine Schwierigkeiten :

Eine erste Integration liefert

x' + f*x = v1 , y' + f*y = -gt + v2

und im nächsten Schritt hat man

x(t) = v1(1-e-ft)/f

y(t) = -(g/f)t + (g/f+v2)(1-e-ft)/f

Zur Probe lassen wir f®0 gehen. Wegen

(1-e-ft)/f = t + (1/2)ft2 + O(f2)

kommt dann richtig die reibungsfreie Lösung heraus.
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4685
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 14:55:   Beitrag drucken

Hi Orion

Der Barbaratag (4.Dezember),der Tag zu Ehren
der heiligen Barbara, Schutzgöttin der Artillerie,
liegt noch nicht weit zurück.
Darum ist es gegeben, als Trockenübung, noch ein
wenig über die ballistischen Kurven zu reden.

Ihre Form verdankt sie tatsächlich der Tatsache,
dass der Luftwiderstand proportional zum Quadrat
der Bahngeschwindigkeit ist.
Das wussten natürlich auch Deine Kollegen als Insider.

Einfluss auf die Kurve nimmt aber auch der Luftdruck.

All dies ad hoc rechnerisch zu berücksichtigen, ist kaum
möglich.
Aber es gibt Behelfe:
Erwähnen möchte ich Nomogramme und Tabellen aller Art.
sowie mechanische Schiesselementenrechner,so genannte
SER-Geräte, die kaum zu schleppen waren.
Das ist jetzt passé ; alles wird elektronisch erledigt.

Ich bin immer noch auf der Suche nach den einschlägigen
mathematischen Berechnungsmöglichkeiten.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4686
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 15:23:   Beitrag drucken

Hi Orion

Du hat eine ganz tolle Herleitung für den „einfacheren Fall“
gezeigt; Anerkennung und Dank.
Ich befürchte, der ballistische Fall ist resistenter
oder gar renitent.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4687
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 19:17:   Beitrag drucken

Hi Orion

Ich habe eine mögliche Lösung für das
ballistische Problem gefunden; sie ist aber noch
auf Herz und Nieren zu prüfen; für die Richtigkeit
kann ich keine Gewähr bieten.

Mit Vo = vo cos a gilt ev.:

y = g / (4 f^2*Vo^2) + [ g / (2 f * Vo^2) + tan a] * x
- g / (4 f^2*Vo^2) * e ^ (2 f x).

MfG
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1696
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 20:22:   Beitrag drucken

Hi megamath,

wir hatten zuletzt auch eine Aufgabe, so ähnlich:

Es ging um einen Fallschirmspringer der Masse m, der sich aus dem Flugzeug fallen lässt. Auf ihn wirkt dann die Erdanziehung -mg und die Luftreibung -a*v. a>0 und v = dz/dt die Fallgeschwindigkeit.

Dann lautet nach Newton die Bewegunggsgleichung für v:

mv° = -mg - av

so hatten wir es zumindest in der Vorlesung!

Mit der Lösung für v(0)=0, z(0)=z0:

v(t) = [ e^(-at/m) - 1 ]* (mg/a)

eine weiter Integration liefert dann eine ähnlich Lösung wie deine! Also wird das wohl stimmen!

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 934
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 09:03:   Beitrag drucken

Hallo Megamath,

Interessant ! Ich habe mit dem System

x'' = -f*x'v , y''+g = - f*y'v

nur noch ein wenig herumgespielt und gewann den
Eindruck, dass eine explizite Lösung wohl nicht
so einfach zu bekommen ist. Mehr als z.B.

dE/dt = - f*v3 (E:= gy + v2/2 = Gesamtenergie)

ist dabei nicht herausgekommen. Vielleicht fällt mir
noch etwas gescheiteres dazu ein

(Beitrag nachträglich am 07., Dezember. 2004 von orion editiert)

(Beitrag nachträglich am 07., Dezember. 2004 von orion editiert)
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4688
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 09:39:   Beitrag drucken

Hi Orion

Ich habe auch mächtig herumgespielt; das Meiste ist im
Papierkorb gelandet.
Ich habe den Eindruck, dass wegen gewisser Integrale
die Schlussformel gar nicht geschlossen dargestellt werden kann.

An einer bestimmten Stelle musste ich voraussetzen, dass der
Elevationswinkel „klein“ ist!
Andrerseits macht die Formel, die ich schließlich erhielt,
unter dieser Einschränkung, keinen so schlechtren Eindruck.
Sie erträgt, wenn ich mich nicht irre,auch den Grenzübergang
f gegen null.
An einem numerischen Beispiel liess ich Miss Marple
Aufzeichnungen machen.
Es erschien immerhin das typische Bild einer ballistischen Kurve.

So viel auf Anhieb

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4689
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 21:01:   Beitrag drucken

Hi Orion

Neues zur Ballistikkurve.
Es zeigt sich, dass die Darstellung mit Hilfe von
p = dy/dx = y°/x° sehr hilfreich ist.
Als Teilresultat erwähne ich die Beziehung

(g / f) * 1 / (x°)^2 = - 2 * int [sqrt (1 + p^2) dp] + C

Eire Herleitung und eine (hoffentlich) erfolgreiche
Weiteführung erfolgen später.

Inzwischen

Mit besten Grüssen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4690
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 21:56:   Beitrag drucken

Hi Orion

Es geht noch ein bisschen weiter:
Für das Integral int [sqrt(1 + p’2)] dp wählen wir die Stammfunktion
= ½ [p + sqrt(1+p^2)]+ ½ ln [p + sqrt(1+p^2)] und
schreiben dafür zur Abkürzung ½ M.

Damit kommt:

x° = sqrt(g/f) / sqrt(C-M);
wegen y° = p * x° analog
y° = sqrt(g/f) * p / sqrt(C-M) .

MfG
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 936
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 09:16:   Beitrag drucken

Megamath,

Wenn ich Deinen Ansatz nachvollziehe, komme ich auf folgendes.
Eliminiere ich v aus meinen Dgln, so kommt

x''y' - x'y'' = g x'

Mit y' = p x' => y'' = p'x' + px''

ergibt sich dann

p'x' = - g => x'' = - gp''/p'2.

Setzt man dies in die Dgl. für x ein, so hat man
die relativ einfache Dgl

p'' = fg sqrt(1+p2)

oder (nach erweitern mit p')

(d/dt)(p'2) = 2fg sqrt(1+p2) p'

= fg(d/dt)[p*sqrt(1+p2+ln(p+sqrt(1+p2))]

=>

p'2 = fg[p*sqrt(1+p2)+ln(p+sqrt(1+p2)]+C
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4691
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 09:49:   Beitrag drucken

Hi Orion

Genau so habe ich auch operiert: Gedankenübertragung.
Damit sind wir offenbar auf gutem Weg und nahe
beim Ziel.

Ich werde bei Gelegenheit auf einem neuen
THREAD die Sache von Anfang an
aufrollen,sodass
auch Zuschauer davon profitieren.

Vielen Dank für Deine Hilfen.

MfG
H.R.Moser,megamath

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page