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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1695
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 14:03: | 
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Hi,
ich hoffe ihr könnt mir hier kurz aus der Patsche helfen , denn bei dieser Fragestellung sehe ich nicht durch:
Sei M eine Menge. Die Menge KM der K-wertigen Funktionen auf M bildet einen Ring. Sei f € M.
Man definiere eine Abbildung Ff : K[x] -> KM durch :
Ff(p) :=p(f).
Man zeige, dass das Bild von Ff ein Unterraum von KM ist. Man zeige weiter das dieser Unterraum unter der Multiplkation abgeschlossen ist!
Also eigentlich muss ich ja nur zeigen dass das Bild Ff die das Unterrauumkriterium erfüllen, nur wie soll ich das hier machen? Habt ihr da einen kleinen Hinweis?
mfg |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 502
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 21:33: |
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Hi,
was meinst du mit p(f) ? Ich weiß erstmal nicht wie ich ein Polynom über K auf ein Element von M anwenden kann und wieso das in K^M liegen soll.
sotux |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1697
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 21:52: |
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Hi,
KM ist die Menge aller Abbildungen f von M nach K.
Also ich bin mit Hilfe von Niels, schon zu folgenden Überlegung gekommen:
K[x] ist ja ein Polynomring, KM ist ja nach Aufgabestellung auch ein Ring. p ist ein Polynom aus K[x] und f eine Abbildung aus KM
Dann ist die Abbildung F K[x] -> KM definiert durch p -> p(f)
ein "Ringhomomorphismus" oder auch "Einsetzungshomomorphismus".
Auf das Bild dieser Abbildung lassen wir also unsere Unterraumkriterien los:
Bild(F) ist nicht leer da KM nicht leer, da K ein Körper, also insbesonder 0 und 1 enthält.
Aber dann ist auch schluss. Ich will nun zeigen das wenn a € Bild(F) ist und b € Bild(F), das dann auch a+b € Bild(F). Aber da fehlt mir noch jeder Ansatz!
Oder ist die Aufgabstellung immer noch unverständlich? Oder mache ich hier eine großen Denkfehler?
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1665
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 11:07: |
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Hallo Ferdi
Ich würde die Abbildung Ff zunächst einmal so verstehen, dass man in ein gegebenes Polynom p in K[x] die Abbildung f einsetzt. Dann soll p(f) eine Abbildung von M in K sein. Sei z.B. p=a0+a1*x+...+anxn. Dann ist mit p(f) die folgende Abbildung vom M in K gemeint:
(p(f))(a)=a0+a1*f(a)+...+an(f(a))n.
Jetzt muss man die Unterraumkriterien zeigen. Dass die Menge Bild(Ff) nicht leer ist hast du ja schon. (Z.B. liegt f selbst in Bild(Ff))
Seien nun p1(f),p2(f) aus Bild(Ff) mit
p1(f)=a0+a1*f+...+anfn
p2(f)=b0+b1*f+...+bm*fm
Ohne Einschränkung nehmen wir n³m an. Setze weiter bi=0 für i>m. Dann ist
p1(f)+p2(f)=Sn i=0 (ai+bi)fi
Und die Abbildung liegt in Bild(Ff), weil Sn i=0 (ai+bi)xi ein Polynom in K[x] ist.
Analog zeigt man die Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation.
MfG
Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1698
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 14:59: |
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Hi Christian,
danke erstmal...
Also für die skalare Multplaktion nehme ich mir
l € K und rechne:
l*p(f) = l*Sn i=0(aifi)
und das ist ja gleich Sn i=0(l*(aifi)) und das liegt in Bild(F) weil Sn i=0(l*(aixi)) in K[x] liegt.
Also quasi genau wie bei der Addition!
Zur Abgeschlossenheit bzgl der Multplikation:
Ich nehem mir wieder:
p(f1) und p(f2):
p(f1) = Sn i=0(aifi)
p(f2) = Sm i=0(bifi)
Dann ist p(f1)*p(f2):
Sn i=0(aifi)*Sm i=0(bifi)
==> S?? i=0(cifi)
Wobei ci mit dem üblichen Reihenprodukt berechnet wreden kann...Also liegt dann das Produkt im Bild, weil auch S?? i=0(cixi) in K[x] liegt.
Geht das ungefähr so? Und wie lautet die obere Grenze der letzten Summe?
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1667
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 15:18: |
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Hi Ferdi
Geht das ungefähr so?
Ja, würde ich auch so machen Nur solltest du p1(f) statt p(f1) schreiben. Analog auch p2(f) statt p(f2). Die Funktion f ändert sich ja nicht.
Und wie lautet die obere Grenze der letzten Summe?
Die obere Grenze ist m+n. Man hat ja einfach die ganz normale Multiplikation von Polynomen.
MfG
Christian
(Beitrag nachträglich am 07., Dezember. 2004 von christian_s editiert) |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1699
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 20:19: |
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Ok,
danke!
mfg |
