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Konvergenz

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Beweise » Konvergenz « Zurück Vor »

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Sabine_weller (Sabine_weller)
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Benutzername: Sabine_weller

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2004
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 07:43:   Beitrag drucken

Hi,
Ich habe ein paar Probleme, aber ich denke es ist kein Problem für euch.

1) Für alle n elm. N sei an>=0, und die Reihe
oo
sum an sei konvergent.
n=1 oo
zeigen Sie, dass auch eine Reihe sum an^2
n=1
konvergent ist.

2) Berechnen Sie:
oo
sum (-1)^n/2^n
n=1

Wie kann man das den Berechnen?

Danke schon mal. Ich stehe völlig auf dem Schlauch!

Gruß Sabine
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1249
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 10:57:   Beitrag drucken

Hi,

zu 2.

Die Reihensumme kannst du so anschreiben:

s_oo = -1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + ..

Das ist eine unendliche geometrische Reihe, mit dem ersten Glied (b1) = -1/2 und dem Quotienten q = -1/2, und nach

s_oo = b1/(1 - q) ist deren Summe

s_oo = (-1/2)/(1 + (1/2)) = -1/3

Gr
mYthos
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Sabine_weller (Sabine_weller)
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Benutzername: Sabine_weller

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2004
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 11:55:   Beitrag drucken

Als Ergebnis stand 2/3 auf meinem Aufgaben-Zettel. Ist mein Ergebnis falsch? Gibt es eine einen Weg wie man bei solchen Aufgaben vorgeht?
oo
z.B hab ich noch eine sum 1/(n(n+1))
n=1

Ich komme mit diesen Aufgaben total nicht klar.

mfg
Sabine
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1662
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 13:17:   Beitrag drucken

Hallo Sabine

Das Ergebnis von Mythos stimmt bei der zweiten Aufgabe. Vielleicht soll die Reihe bei n=0 anfangen?! Dann kommt nämlich dein Ergebnis raus.

Zur ersten Aufgabe:
Wenn die Reihe konvergiert, so ist an eine Nullfolge. Dann gilt für fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) n aus IN, dass an<1 ist.
Für solche Zahlen gilt aber an2<an. Damit gilt wiederum für fast alle natürlichen Zahlen n aus IN: an2<an. Wende nun das Majorantenkriterium an.

z.B hab ich noch eine sum 1/(n(n+1))

Wende Partialbruchzerlegung an. Damit erhältst du 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1). Wenn du dann die Reihe bildest fällt fast alles weg. (Das ist eine sogenannte Teleskopsumme).

MfG
Christian
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Sabine_weller (Sabine_weller)
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Benutzername: Sabine_weller

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 08:12:   Beitrag drucken

Hallo,

ja stimmt, die Summe fing mit Null an. Ist alles ganz einleuchtent. Aber selber daruf kommen... uiiii.. das werde ich glaube nie he he.

Wie kann an den eine Summe errechnen, die nicht wie eine Geometrische-Reihe aussieht? Wie z.B.

oo
sum (n+1)/(n+2)-n/(n+1)
n=1

muss ich dort auch mit Partialbruchzerlegung arbeiten?

MfG Sabine

PS: Sorry für die vielen Fragen :-)
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1664
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 10:43:   Beitrag drucken

Hallo Sabine

Ein allgemeines "Rezept" für die Berechnung von Reihen gibt es nicht. Man muss halt immer ein bißchen "rumprobieren". Bei deiner neuen Reihe Reihe würde ich keine Partialbruchzerlegung machen. Die Reihe ist ja im Prinzip schon passend zerlegt :-)
Dort steht ja
2/3-1/2+3/4-2/3+4/5-3/4+...
Du siehst schon, dass dort fast alles wegfällt. Betrachte nun erstmal die endliche Summe
SN n=1 ((n+1)/(n+2)-n/(n+1))
Nach unseren Überlegungen ist das gleich (N+1)/(N+2)-1/2
Alle anderen Summanden kürzen sich weg. Der Reihenwert ergibt sich jetzt einfach durch Grenzübergang N->¥. Also ist der Reihenwert 1-1/2=1/2.

MfG
Christian

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