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Eulerische Zahl

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Joy04 (Joy04)
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Mitglied
Benutzername: Joy04

Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 03-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 17:25:   Beitrag drucken

Hallo!
Hat jemand eine Idee zu folgendem Beweis?

Zeige mit indirektem Beweis, dass die Eulerische Zahl e irrational ist!
Hinweis:
Wäre e=p/q mit natürlichen Zahlen p,q darstellbar,also rational, so könnten wir die Taylorformel für e bis zum n-ten mit dem Lagrangegeschen Restglied aufschreiben,wobeo n>=q und n>= 2 ist und mit a aus (0,1):
p/q= Summe von k=0 bis n (1/k! + (e^a)/(n+1)!

mulitipliziere diese Formel mit n! und führe den Beweis zu Ende!
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 923
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 07:48:   Beitrag drucken

Joy04 :

Gemäss der gegebenen Anleitung erhält man

p n!/q = g + ea/(n+1)

wobei

g := Sn k=0 n!/k!

offenbar ganzzahlig ist. Wegen q £ n ist auch
die linke Seite eine ganze Zahl. Andererseits ist
ea < 3, also 0 < ea/(n+1) < 1 : Widerspruch !
mfG Orion
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Joy04 (Joy04)
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Mitglied
Benutzername: Joy04

Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 03-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 16:43:   Beitrag drucken

Ich dank dir, hab bei den einzelnen schritten zwar etwas nachdenken müßen, es aber letztendlich verstanden!
Gut das es leute wie dich gibt!

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