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Folgen und Grenzwerte

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die Verzweifelnden
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 19:05:   Beitrag drucken

Hallo Leute!
wir sitzen hier in unserer Übungsgruppe und wissen nicht, wie wir folgende Aufgabe lösen können:
Berechen Sie für die Folge den Grenzwert-falls er existiert-

A) (a^n+b^n+c^n)^(1/n)

B) (I Polynm (n)I )^(1/n) ; I polynom (n)I ist der betrag von einen polynom P(n).

Wär suuuuper, wenn uns jemand helfen könnte.

Lenny Lee
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2531
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 21:02:   Beitrag drucken

A) a >1, b >1, b >1

ergibt sich für den ln des Grenzwertes mittels
L'Hospital 0, für den Grenzwert also 1

B) wemm damit ein Polynom n-ten Grades gemeint ist
sollte das eigentlich fast dasselbe wie A) sein
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1656
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 22:16:   Beitrag drucken

Hallo

Bei a) habe ich was anderes. Und zwar gehe ich mal davon aus, dass die Zahlen a,b und c alle positiv sind. Dann kommt man in keine Schwierigkeiten mit der Wurzel. Sei
an=(an+bn+cn)

Es gibt nun folgenden Satz:
Gilt lim(n->¥)an+1/an = q, so folgt
lim(n->¥) (an)1/n=q.
Damit ist die Grenzwertberechnung nicht mehr schwer, man erhält als Grenzwert max(a,b,c).

MfG
Christian
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 924
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 08:02:   Beitrag drucken

Hallo,

Vorschlag:

Sei o.B.d.A.: a >= b >= c . Für

wn := (an + bn + cn)1/n

= a[1+(b/a)n+(c/a)n]1/n

gilt dann:

a < wn < a*31/n.

Bekanntlich strebt 31/n gegen 1.
mfG Orion
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2532
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 08:39:   Beitrag drucken

ja, mein's istUnsinn, wurde mir als ich zu Bett
gegangen war klar. Orion's ist einleuchtend( Nomen est Omen :-) ), mit Christian_s's hab ich Schwierigkeiten.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 925
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Dezember, 2004 - 10:54:   Beitrag drucken

Hallo.

Zu B): Sei

P(n) := a0 nk + ... + ak , a0 ‡ 0

das fragliche Polynom, dann ist

| P(n) | 1/n =

|a0|1/n*(n1/n)k*|1+a1/a0/n +...

+ ak/a0/nk|1/n.

Bekanntlich ist lim |a0|1/n = 1 und sogar

lim n1/n = 1.

Daher lim |P(n)|1/n = 1.
mfG Orion

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