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Konvergenz und Beschränktheit

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Walliworld (Walliworld)
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Mitglied
Benutzername: Walliworld

Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 2004 - 19:04:   Beitrag drucken

Hallo, vielleicht kann mir jemand bei folgenden Aufgaben helfen:

Zeigen Sie:
(alle n sind Element der natürlichen Zahlen)

a) Ist eine Folge{an} monoton wachsend und nach oben beschränkt, so gilt lim an = sup{an}
n->oo

b) Ist eine Folge konvergent gegen den Wert -10^(-7), so sind unendliche viele Glieder der Folge negative.

c) Ist eine Folge {an} konvergent gegen den Granzwert a elm. der reellen Zahlen und gilt an > 0 für unendlich viele n , so ist a >= 0

Danke schon mal für eure Hilfe!
Gruß
Stefan
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1653
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. November, 2004 - 10:38:   Beitrag drucken

Hallo Stefan

Zu a) Sei lim an = a. Dass a eine obere Schranke ist, ist klar(wegen der Monotonie). Angenommen es gäbe eine kleinere obere Schranke b. Dann wähle einfach e=(a-b)/2. Dann gilt b<e<a. Insbesondere liegen wegen der Konvergenz von (an) aber fast alle Folgenglieder im Intervall (a-e,a+e). D.h. fast alle Folgenglieder sind größer als b => b kann keine obere Schranke sein. Damit gilt sup{an}=a.

b) Betrachte einfach eine e-Umgebung von -10^(-7), die komplett in den negativen reellen Zahlen liegt. Dann müssen in ihr auch unendlich viele Folgenglieder liegen.

c) Im Prinzip analog zu b). Wäre der Grenzwert a<0, so gibt es eine e-Umgebung, die komplett in den negativen reellen Zahl liegt. In ihr müssen dann aber fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) Folgenglieder liegen. Das widerspricht aber der Annahme, dass an>0 gilt für unendlich viele an.

MfG
Christian
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Walliworld (Walliworld)
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Mitglied
Benutzername: Walliworld

Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. November, 2004 - 11:19:   Beitrag drucken

Hi,
schönen Dank für die Erklärungen :-)
MfG
Stefan

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