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Walliworld (Walliworld)
Mitglied Benutzername: Walliworld
Nummer des Beitrags: 47 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 29. November, 2004 - 19:04: |
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Hallo, vielleicht kann mir jemand bei folgenden Aufgaben helfen: Zeigen Sie: (alle n sind Element der natürlichen Zahlen) a) Ist eine Folge{an} monoton wachsend und nach oben beschränkt, so gilt lim an = sup{an} n->oo b) Ist eine Folge konvergent gegen den Wert -10^(-7), so sind unendliche viele Glieder der Folge negative. c) Ist eine Folge {an} konvergent gegen den Granzwert a elm. der reellen Zahlen und gilt an > 0 für unendlich viele n , so ist a >= 0 Danke schon mal für eure Hilfe! Gruß Stefan |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1653 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. November, 2004 - 10:38: |
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Hallo Stefan Zu a) Sei lim an = a. Dass a eine obere Schranke ist, ist klar(wegen der Monotonie). Angenommen es gäbe eine kleinere obere Schranke b. Dann wähle einfach e=(a-b)/2. Dann gilt b<e<a. Insbesondere liegen wegen der Konvergenz von (an) aber fast alle Folgenglieder im Intervall (a-e,a+e). D.h. fast alle Folgenglieder sind größer als b => b kann keine obere Schranke sein. Damit gilt sup{an}=a. b) Betrachte einfach eine e-Umgebung von -10^(-7), die komplett in den negativen reellen Zahlen liegt. Dann müssen in ihr auch unendlich viele Folgenglieder liegen. c) Im Prinzip analog zu b). Wäre der Grenzwert a<0, so gibt es eine e-Umgebung, die komplett in den negativen reellen Zahl liegt. In ihr müssen dann aber fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) Folgenglieder liegen. Das widerspricht aber der Annahme, dass an>0 gilt für unendlich viele an. MfG Christian |
Walliworld (Walliworld)
Mitglied Benutzername: Walliworld
Nummer des Beitrags: 49 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. November, 2004 - 11:19: |
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Hi, schönen Dank für die Erklärungen MfG Stefan |
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