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"Multibinomialkoeffizienten"

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Kathrinschen (Kathrinschen)
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Junior Mitglied
Benutzername: Kathrinschen

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 09:44:   Beitrag drucken

Ich brauche mal wieder Hilfe!!!

1) Erfinde "Multibinomialkoeffizienten", die beim Ausmultiplizieren von (x1+x2+..+xk)^n entstehen!

2)Welchen Koeffizienten erhält man für x^2*y^4*zw^2 in der Expansion von (x+y+z+w)^9?

3)Zeigt, dass -mit Ausnahme der Koeffizienten von x1^p- alle Koeffizinten in der Expansion von (x1+x2+..+xk)^p, wobe p Primzahl ist, durch p teilbar sind!
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4630
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 11:43:   Beitrag drucken

Hi Kathrinschen

Ich löse Dir Nr 2 vor.

Bei der Entwicklung von (x+y+z+w)^9 entstehen
Summen von Produkten der Form
x^a * y^b * z^c * w^d ,wobei für die Exponenten a, b, c. d
gelten muss:
a,b,c,d aus {0,1,2,3,4},
mit a + b + c + d = 9

Bestimmung des Koeffizienten K von x^2 y^4 z^1 w^2:
Wir schreiben die Potenz
(x+y+z+w)^9 als Produkt mit 9 gleichen
Faktoren (x+y+z+w)

Beim Ausmultiplizieren gehen wir so vor:

Wir wählen 2 Klammern aus und bilden
durch Multiplikation x^2.
Die Auswahl ist auf z1 = 9 über 2 Arten möglich
also auf z1 = 36 Arten.

Von den restlichen 7 Klammern wählen wir 4
Klammern aus und bilden durch Multiplikation y^4.
Die Auswahl ist auf z2 = 7 über 4 Arten möglich
also auf z2 = 35 Arten.

Von den restlichen 3 Klammern wählen wir 1
Klammer aus und bilden durch Multiplikation z^1(!).
Die Auswahl ist auf z3 = 3 über 1 Arten möglich
also auf z3 = 3 Arten.

Von den restlichen und letzten 2 Klammern wählen wir 2
Klammern aus und bilden durch Multiplikation w^2.
Die Auswahl ist auf z4 = 2 über 2 Arten möglich
also auf z4 = 1 Art.

Wir erhalten für K insgesamt das Produkt
K = z1*z2*z3*z4 = 36* 35 * 3 * 1 = 3780.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4631
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 12:08:   Beitrag drucken

Hi Kathrinschen

Weil es so schön war, wollen wir einen weitern Koeffizienten
derselben Entwicklung bestimmen!

M sei der Koeffizient von x^2 y^5 w^2, d.h. von
x^2 y^5 z^0 w^2.

Bezeichnen wir mit b(r,s) den Binomialkoeffizient
r über s , also
b(r,s) = r! / [s! (r-s)!]
so kommt:

M = b(9,2)*b(7,5)*b(2,0)*b(2,2) = 36*21*1*1= 756

MfG
H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1646
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 14:33:   Beitrag drucken

Hallo Kathrinschen

Zu 1).

Ich würde es hier mit ein wenig Kombinatorik versuchen. Dafür überlegst du dir am besten was es heißt so ein Produkt auszumultiplizieren. Nach dem Distributivgesetz bedeutet das ja gerade, dass du dir aus jedem Faktor genau einen Summanden heraussuchst und diese Summanden dann am Ende miteinander multiplizierst. Und das machst du auf alle erdenklichen Möglichkeiten und summierst dann alles auf. Es ist klar, dass dann nach dem Ausmultiplizieren nur Summanden der Form
z*x1^(m1)*...*xk^(mk) vorkommen mit z als natürlicher Zahl(die wir noch bestimmen müssen) und m1+...+mk=n.
Den oben Summanden x1^(m1)*...*xk^(mk) erhalten wir nach den Regeln der Kombinatorik auf genau n!/((m1)!*...*(mk)!) Weisen. Das ist unser gesuchtes z.

Die Formel können wir gerade an den Berechnungen von Megamath überprüfen.
Beim ersten mal ist n=9, m1=2, m2=4,m3=1, m4=2. Damit erhält man als Koeffizienten
9!/(2!*4!*1!*2!)=3780, glücklicherweise das gleiche Ergebnis, das oben schon steht :-)

Die Aufgabe 3) ist mit obiger Formel auch kein Problem mehr. Wenn p eine Primzahl ist, dann teilt in p!/((m1)!*...*(mk)!) keiner der Faktoren im Nenner den Zähler, denn nach Voraussetzung sind die mi alle kleiner als p. Damit bleibt der Koeffizient an sich durch p teilbar!

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4632
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 14:38:   Beitrag drucken

Hi Kathrinschen

Du kannst die Koeffizienten auch mit den Formel
zur Berechnung der Anzahl Permutationen mit
Wiederholung ermitteln!

In der Teilaufgabe 2) geht das so:
K = 9! / [2! * 4! * 1! *2! ] = 3780, wie vor dem.

Beachte:
9: Exponent für die Summe (x+y+z+w)
2;4;1;2: Exponenten im Term x^2 y^4 z^1 w^2.

Für die Zusatzaufgabe erhalten wir:

M = 9! / [2!*5!*0!*2!] = 756 , wie früher.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4633
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 14:40:   Beitrag drucken

Hi Christian



Besten Damk für Deinen wertvollen Beitrag

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4634
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 15:55:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Ich bin aus Bekanntenkreisen angefragt worden,
wie viele Summanden die vollständige
polynomische Entwicklung von
(x+y+z+w)^9 enthalte.
Ich habe die Anzahl Z = 220 erhalten.
Kann das jemand bestätigen und auch
begründen?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4635
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 15:57:   Beitrag drucken

Hi

Es ist zu bedauern, dass Katherinschen sich nicht
mehr meldet.
Wir möchten gerne wissen, ob sie unsere Antworten
verstanden hat.
Jedenfalls wären wir für eine entsprechende Reaktion
dankbar !

H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1649
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 18:45:   Beitrag drucken

Hi Megamath

Dein Ergebnis kann ich bestätigen :-)
Allerdings leider nur durch Zählen...
Hast du eine Formel für die Anzahl der Summanden?

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4636
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 20:56:   Beitrag drucken

Hi Christian

Ich habe ein gutes Dessert bereit.
Es schwebt mir nämlich folgendes vor:
Die von mir gestellte Aufgabe, die Anzahle Z der
Summanden in der vollständigen Entwicklung von
(x+y+z+w)^9 zu erhalten, ist äquivalent mit der
Bestimmung der Anzahl der Lösungen der Gleichung
a+b+c+d = 9
Die Unbekannten (Variablen) sollen ganze Zahlen
aus der Menge M = {0. 1, 2, 3, 4} sein.

Zur Lösung dieses neuen Problems gehen wir mit
List so vor:
Es ist cool, die Neun durch 9 Einsen zu ersetzen
und die Pluszeichen durch 3 Querstriche.

Ein Beispiel soll dies erläutern:
Von der Symbolik
111/1111//11 gelangen wir zur Lösung
3+4+0+2 = 9
und umgekehrt.
Jetzt sind wir bei unserem Spezialthema der
Kombinatorik, bei den Permutationen mit Wiederholung
angelangt.
Im vorliegenden Fall haben wir insgesamt 9+3 = 12
Elemente, davon je 9 und je 3 gleiche.
Gesamtzahl der Möglichkeiten:
U = 12! / [9! * 3!] = 220
Voilà

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1650
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 21:56:   Beitrag drucken

Hi Megamath

Vielen Dank für die sehr schöne Lösung des Problems :-)
Sie lässt sich ja sogar problemlos auf den Fall (x1+x2+...+xk)n erweitern. Man hat dort b(n+k-1,n) Summanden.

Übrigens muss es in deiner Lösung oben denke ich M={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} heißen, oder?

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4637
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. November, 2004 - 06:42:   Beitrag drucken

Hi Christian

Danke!
Natürlich muss im vorliegenden Fall die Menge M
so heißen,wie Du angegeben hast.
Das kommt davon:
von meinen vorauseilenden Gedanken.
Ich hatte mit einem andern Exponenten laboriert
und schon hat sich die andere Menge eingeschlichen

Niemand nimmt mir das übel, nehme ich an!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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