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Kathrinschen (Kathrinschen)
Junior Mitglied Benutzername: Kathrinschen
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 12-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 09:44: |
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Ich brauche mal wieder Hilfe!!! 1) Erfinde "Multibinomialkoeffizienten", die beim Ausmultiplizieren von (x1+x2+..+xk)^n entstehen! 2)Welchen Koeffizienten erhält man für x^2*y^4*zw^2 in der Expansion von (x+y+z+w)^9? 3)Zeigt, dass -mit Ausnahme der Koeffizienten von x1^p- alle Koeffizinten in der Expansion von (x1+x2+..+xk)^p, wobe p Primzahl ist, durch p teilbar sind! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4630 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 11:43: |
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Hi Kathrinschen Ich löse Dir Nr 2 vor. Bei der Entwicklung von (x+y+z+w)^9 entstehen Summen von Produkten der Form x^a * y^b * z^c * w^d ,wobei für die Exponenten a, b, c. d gelten muss: a,b,c,d aus {0,1,2,3,4}, mit a + b + c + d = 9 Bestimmung des Koeffizienten K von x^2 y^4 z^1 w^2: Wir schreiben die Potenz (x+y+z+w)^9 als Produkt mit 9 gleichen Faktoren (x+y+z+w) Beim Ausmultiplizieren gehen wir so vor: Wir wählen 2 Klammern aus und bilden durch Multiplikation x^2. Die Auswahl ist auf z1 = 9 über 2 Arten möglich also auf z1 = 36 Arten. Von den restlichen 7 Klammern wählen wir 4 Klammern aus und bilden durch Multiplikation y^4. Die Auswahl ist auf z2 = 7 über 4 Arten möglich also auf z2 = 35 Arten. Von den restlichen 3 Klammern wählen wir 1 Klammer aus und bilden durch Multiplikation z^1(!). Die Auswahl ist auf z3 = 3 über 1 Arten möglich also auf z3 = 3 Arten. Von den restlichen und letzten 2 Klammern wählen wir 2 Klammern aus und bilden durch Multiplikation w^2. Die Auswahl ist auf z4 = 2 über 2 Arten möglich also auf z4 = 1 Art. Wir erhalten für K insgesamt das Produkt K = z1*z2*z3*z4 = 36* 35 * 3 * 1 = 3780. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4631 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 12:08: |
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Hi Kathrinschen Weil es so schön war, wollen wir einen weitern Koeffizienten derselben Entwicklung bestimmen! M sei der Koeffizient von x^2 y^5 w^2, d.h. von x^2 y^5 z^0 w^2. Bezeichnen wir mit b(r,s) den Binomialkoeffizient r über s , also b(r,s) = r! / [s! (r-s)!] so kommt: M = b(9,2)*b(7,5)*b(2,0)*b(2,2) = 36*21*1*1= 756 MfG H.R.Moser,megamath |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1646 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 14:33: |
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Hallo Kathrinschen Zu 1). Ich würde es hier mit ein wenig Kombinatorik versuchen. Dafür überlegst du dir am besten was es heißt so ein Produkt auszumultiplizieren. Nach dem Distributivgesetz bedeutet das ja gerade, dass du dir aus jedem Faktor genau einen Summanden heraussuchst und diese Summanden dann am Ende miteinander multiplizierst. Und das machst du auf alle erdenklichen Möglichkeiten und summierst dann alles auf. Es ist klar, dass dann nach dem Ausmultiplizieren nur Summanden der Form z*x1^(m1)*...*xk^(mk) vorkommen mit z als natürlicher Zahl(die wir noch bestimmen müssen) und m1+...+mk=n. Den oben Summanden x1^(m1)*...*xk^(mk) erhalten wir nach den Regeln der Kombinatorik auf genau n!/((m1)!*...*(mk)!) Weisen. Das ist unser gesuchtes z. Die Formel können wir gerade an den Berechnungen von Megamath überprüfen. Beim ersten mal ist n=9, m1=2, m2=4,m3=1, m4=2. Damit erhält man als Koeffizienten 9!/(2!*4!*1!*2!)=3780, glücklicherweise das gleiche Ergebnis, das oben schon steht Die Aufgabe 3) ist mit obiger Formel auch kein Problem mehr. Wenn p eine Primzahl ist, dann teilt in p!/((m1)!*...*(mk)!) keiner der Faktoren im Nenner den Zähler, denn nach Voraussetzung sind die mi alle kleiner als p. Damit bleibt der Koeffizient an sich durch p teilbar! MfG Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4632 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 14:38: |
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Hi Kathrinschen Du kannst die Koeffizienten auch mit den Formel zur Berechnung der Anzahl Permutationen mit Wiederholung ermitteln! In der Teilaufgabe 2) geht das so: K = 9! / [2! * 4! * 1! *2! ] = 3780, wie vor dem. Beachte: 9: Exponent für die Summe (x+y+z+w) 2;4;1;2: Exponenten im Term x^2 y^4 z^1 w^2. Für die Zusatzaufgabe erhalten wir: M = 9! / [2!*5!*0!*2!] = 756 , wie früher. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4633 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 14:40: |
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Hi Christian Besten Damk für Deinen wertvollen Beitrag MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4634 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 15:55: |
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Hi allerseits Ich bin aus Bekanntenkreisen angefragt worden, wie viele Summanden die vollständige polynomische Entwicklung von (x+y+z+w)^9 enthalte. Ich habe die Anzahl Z = 220 erhalten. Kann das jemand bestätigen und auch begründen? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4635 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 15:57: |
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Hi Es ist zu bedauern, dass Katherinschen sich nicht mehr meldet. Wir möchten gerne wissen, ob sie unsere Antworten verstanden hat. Jedenfalls wären wir für eine entsprechende Reaktion dankbar ! H.R.Moser,megamath |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1649 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 18:45: |
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Hi Megamath Dein Ergebnis kann ich bestätigen Allerdings leider nur durch Zählen... Hast du eine Formel für die Anzahl der Summanden? MfG Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4636 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 20:56: |
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Hi Christian Ich habe ein gutes Dessert bereit. Es schwebt mir nämlich folgendes vor: Die von mir gestellte Aufgabe, die Anzahle Z der Summanden in der vollständigen Entwicklung von (x+y+z+w)^9 zu erhalten, ist äquivalent mit der Bestimmung der Anzahl der Lösungen der Gleichung a+b+c+d = 9 Die Unbekannten (Variablen) sollen ganze Zahlen aus der Menge M = {0. 1, 2, 3, 4} sein. Zur Lösung dieses neuen Problems gehen wir mit List so vor: Es ist cool, die Neun durch 9 Einsen zu ersetzen und die Pluszeichen durch 3 Querstriche. Ein Beispiel soll dies erläutern: Von der Symbolik 111/1111//11 gelangen wir zur Lösung 3+4+0+2 = 9 und umgekehrt. Jetzt sind wir bei unserem Spezialthema der Kombinatorik, bei den Permutationen mit Wiederholung angelangt. Im vorliegenden Fall haben wir insgesamt 9+3 = 12 Elemente, davon je 9 und je 3 gleiche. Gesamtzahl der Möglichkeiten: U = 12! / [9! * 3!] = 220 Voilà Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1650 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 21:56: |
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Hi Megamath Vielen Dank für die sehr schöne Lösung des Problems Sie lässt sich ja sogar problemlos auf den Fall (x1+x2+...+xk)n erweitern. Man hat dort b(n+k-1,n) Summanden. Übrigens muss es in deiner Lösung oben denke ich M={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} heißen, oder? MfG Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4637 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. November, 2004 - 06:42: |
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Hi Christian Danke! Natürlich muss im vorliegenden Fall die Menge M so heißen,wie Du angegeben hast. Das kommt davon: von meinen vorauseilenden Gedanken. Ich hatte mit einem andern Exponenten laboriert und schon hat sich die andere Menge eingeschlichen Niemand nimmt mir das übel, nehme ich an! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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