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Kreuzprodukt?

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Sekuma (Sekuma)
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Mitglied
Benutzername: Sekuma

Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 13:58:   Beitrag drucken

Hallo,
wir haben mehrere Aufgaben gestellt bekommen, bei denen ich leider nicht den geringsten Ansatz finde, weil ich leider gar nichts verstehe.Ich weiß nicht was ich rechnen soll und auch nicht wie ich das rechnen soll :-( Habe nur von jemand aufgeschnappt, dass es sich um Kreuzprodukte oder so handeln soll?!?

N= natürliche Zahlen
E= Element
Beweisen Sie: Seien N:= {(k,n)E NxN|k<n} und B:N(Pfeil) N eine Funktion,die folgende Bedingungen erfüllt:
1. für alle n N (B(0,n)=1)
2. für alle (k,n)E N (B(k,n)= B(n-k,n))
3. für alle (k,n)E N (k<n (Pfeil)B(k,n)+ B( k+1,n)=B(k+1,n+1))

Dann gilt für alle (k,n) E N : B(k,n)=(n
k)
(Also n auf k)

Ich weiß echt nicht was das alles heißen soll

Brauche dringend Eure Hilfe

MfG
Sekuma:-(
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 479
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 15:10:   Beitrag drucken

Hi Sekuma,

einen Hinweis auf ein Kreuzprodukt seh ich da nicht, es geht darum, zu zeigen, dass das Pascalsche Dreieck der Binomialkoeffizienten durch die Eigenschaften 1-3 eindeutig beschrieben ist. Das kannst du mit vollständiger Induktion nach n zeigen: Wenn du dir die Bedingungen 1 und 2 ansiehst, hast du einen schönen Induktionsanfang für n=0 und 1, und 3 liefert dir (zusammen mit 1 und 2 für den Rand) den Induktionsschluss.

sotux
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1639
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 15:16:   Beitrag drucken

Hallo Sekuma

Du hast oben eine Funktion von der Menge N in die Menge der natürlichen Zahlen gegeben. Die Funktion soll die Eigenschaften 1)-3) erfüllen. Du musst jetzt zeigen, dass daraus schon folgt, dass die Funktion für jeden Wert (k,n) den gleichen Wert annimmt wie der Binomialkoeffizient [n;k], der jedem Paar aus N eine natürliche Zahl zuordnet. Der Binomialkoeffizient ist definiert durch [n;k]=n!/((n-k)!*k!). Er erfüllt offenbar die Bedingungen 1)-3). Wir zeigen B(k,n)=[n;k] für alle Elemente aus N.

Induktion nach n:
n=0. B(k,0)=1=[k,0]
Das gilt, weil k£n sein muss und damit k=0. Wende dann 1) an.

Induktionsvoraussetzung:
Es gilt B(k,n)=[n;k] für ein n Element N.

Induktionsschluss: Hier ist zu zeigen, dass B(k,n+1)=[n+1;k] gilt für alle 0£k£n+1.

Wir teilen den Beweis in mehrere Fälle auf.

i) k=0
Der Fall folgt aus 1).

ii) k=n+1
Benutze 2), dann ergibt sich wieder Fall i).

iii) 0<k£n
Dann gibt es eine natürliche Zahl 0£r<n mit r+1=k.
Damit folgt
B(k,n+1)=B(r+1,n+1)=B(r,n)+B(r+1,n)=[n;r]+[n;r+1]=[r+1,n+1]=[k,n+1]
Wobei hier 3) und die Induktionsvoraussetzung angewandt wurden.

MfG
Christian
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1641
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 19:47:   Beitrag drucken

Kleine Berichtigung:

Beim Induktionsanfang muss es
B(k,0)=1=[0,k]
heißen.

MfG
Christian

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