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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1684
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 17:08: | 
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Hi,
ich rechne nun schon seit Stunden an folgender Aufgabe und komme nicht auf die richtige Lösung!
Berechnen sie:
sum[ (-1)^n/n! ]*sum[ 1/n! ]
n jeweils von 0 ad infinitum
So, das heißt doch:
sum[ cn ] n=[0..inf]
wobei cn = sum[ ((-1)^k/k!)*(1/(n-k)!) ] [k=0..n]
Nun habe ich den Term umgeformt:
cn = 1/n! * [ (-1)^k * n!/(k!*(n-k)!) ]
Wobei die letzte Klammer nach dem binomischen Lehrsatz ja 0 ist!
Also erhalt ich cn = 0 für alle n also auch für mein Produkt sum[ (-1)^n/n! ]*sum[ 1/n! ] !
Dabei muss das doch gerade 1 ergeben, da ja offensichtlich die Reihe von e mit der von 1/e multipliziert wird!
Wo liegt mein Fehler?
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1638
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 18:26: |
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Hallo Ferdi
Wobei die letzte Klammer nach dem binomischen Lehrsatz ja 0 ist!
Das gilt nur für n³1.
Außerdem hast du c0=1, womit dann auch das richtige Ergebnis rauskommt 
MfG
Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1685
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 2004 - 22:31: |
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Hi Christian,
danke! Da hatte ich wohl lange überlegen müssen. Die Zusatzinformation für den Binomischen Lehrsatz hatte ich mir gar nicht notiert!
Naja jetzt passt es ja!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4628
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 11:05: |
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Hi Ferdi
In solchen Fällen kann es hilfreich sein,
die Aufgabe leicht zu verallgemeinern.
Die erste Reihe sei
sum [an] = sum [x^n / n!]
die zweite
sum [bn] = sum[(-x)^n / n!]
Der Index n läuft von n = 0 bis unendlich.
Die Produktreihe hat wiederum die konstante Summe 1,
das ist einleuchtend und es ist nicht schwierig,dies
rechnerisch nachzuweisen.
Vielleicht ist es auch angebracht, den Gültigkeitsbereich
des Cauchyschen Multiplikationssatzes zu erwähnen.
Die Voraussetzung lautet:
Die beiden gegebenen Reihen müssen
absolut konvergent sein.
Im vorliegenden Fall ist diese Voraussetzung
offensichtlich erfüllt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1686
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 11:13: |
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Hi,
eine kurze Nachfrage noch:
Wir hatten in der Vorlesung den Satz:
Ist sum[an] absolut konvergent und sum[bn] konvergent so konvergiert auch ihr Produkt sum[cn] = a*b , wobei a = sum[an] und b=sum[bn]!
Oder muss sum[bn] etwa auch abolut konvergent sein?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4629
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 2004 - 11:23: |
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Hi Ferdi
Natürlich gilt für Studenten der Grundsatz:
iurare in verbo magistri .
Dein Professor hat Recht;
diese schwächere Voraussetzung genügt.
Meine Version haftet besser im Gedächtnis!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
