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3 beweise: abelsche Gruppe

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Simone
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 08:32:   Beitrag drucken

hallo leute!
ich hab ein paar aufgaben, die ich morgen abgeben muss und weiß nicht, wie ich diese lösen kann. Wär echt nett, wenn ihr mir helfen könntet.

es sei (G, °) eine Gruppe mit neurelem Element e.
Zeigen sie:

1) Die GRuppe ist abelsch genau dann, wenn
(a°b)^-1=a^-1 ° b^-1 für alle a,b element G.

2)Wenn (a°b)^2=a^2 ° b^2 für alle a,b element G gilt, dann ist die Gruppe ablsch.

3)Wenn a^2=e für alle a element G gilt, dann ist die GRuppe abelsch.

eigntlich muss man ja immer nur am Ende zeigen, dass das Kommutativgesetz gilt. weiß nur nicht, wie ich da hinkommen soll.

vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe.

Viele Grüße
Simone
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1635
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 10:36:   Beitrag drucken

Hallo Simone

1)
Sei (a°b)^-1=a^-1°b^-1. Dann gilt
(a°b)°(a°b)^-1=e
=> a°b°a^-1°b^-1=e |°b
=> a°b°a^-1=b |°a
=> a°b=b°a
Also ist G kommutativ.
Die andere Richtung ist klar.

2) Sei (a°b)^2=a^2°b^2. Dann folgt
(a°b)°(a°b)=a^2°b^2 |°b^-1
=> a°b°a=a^2°b |a^-1°
=> b°a=a°b

3) Gilt a^2=e für alle a, so folgt
(a°b)^2=e
=> a°b°a°b=e
=> a°b°a°(b°b)=b
=> a°b°a=b
=> a°b°a°a=b°a
=> a°b=b°a

MfG
Christian
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Simone
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 22:00:   Beitrag drucken

Hi Christian,
danke für die guten Beweise. Sehr schön! Danke.

Simone

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