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Beitrag |
    
Nicole
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. November, 2004 - 17:09: | 
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Hallo. Kann mir einer helfen beim Lösen? Mit dem Gaußschen Algorithmus komme ich nicht zum Ergebnis.
Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden homogenen Gleichnungssystems und geben sie eine spezielle Lösung an:
3x-6y+3z=0
1x+4y-2z=0
6x+6y-3z=0
Wäre super, wenn mir jemand ganz schnell antworten könnte!
Danke, Nicole |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1634
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. November, 2004 - 20:45: |
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Hallo Nicole
Addiere zunächst Gleichung 1 und 3. Dann steht da 9x=0. Daraus folgt schonmal x=0. Dann sind Gleichungen 1 und 3 im Prinzip identisch. Also lassen wir die dritte wegfallen. Es muss also noch gelöst werden
-6y+3z=0
4y-2z=0
Hier kannst du aber auch einfach die untere Gleichung mit -1,5 multiplizieren um die obere zu erhalten. Also kann man auch hier wieder eine Gleichung wegfallen lassen. Betrachte nun nur noch die obere
-6y+3z=0 <=> z=2y.
D.h. als allgemeine Lösung erhält man
x=0
y=a
z=2a
mit einer reellen Zahl a. Spezielle Lösung z.B. x=y=z=0.
MfG
Christian |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1233
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 22:09: |
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Im allgemeinen Fall - wenn alle drei Gleichungen unabhängig wären - hat ein homogenes System immer nur die triviale Lösung (0;0;0). Weil aber hier die dritte Gleichung gleich der Summe der ersten und dem 3-fachen der zweiten Gleichung ist, liegt eine Abhängigkeit vor, und deswegen sind zur Erfassung aller (unendlich vielen) Lösungstripel ein oder mehrere Parameter (a) einzuführen.
Unabhängigkeit des Systems liegt nur dann vor, wenn der Wert der Koeffizientendeterminante nicht 0 ist (Rang der Koeffizientenmatrix = 3).
Andernfalls liegt Abhängigkeit vor, der Wert der Koeffizientendeterminante = 0.
Weil im gegebenen Beispiel zwei Gleichungen voneinander unabhängig sind (Rang der Koeffizientenmatrix = 2), ist die Lösung einparametrig.
Gibt es nur eine Gleichung und die anderen zwei sind von ihr abhängig (Rang der Koeffizientenmatrix = 1), würden zwei Parameter zum Aufbau der Lösung nötig sein.
Gr
mYthos |
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