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Eva191105 (Eva191105)
Junior Mitglied
Benutzername: Eva191105
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. November, 2004 - 09:21: | 
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Morgen...
Ich benötige ganz dringend ganz große Hilfe bei diesen Aufgaben. Die Übungszettel sind leider gar nicht auf die Vorlesungen abgestimmt, ich verstehe überhaupt nicht, wie ich die Aufgaben lösen soll...
1)
X sei eine reellwertige Zufallsgröße mit existierendem Erwartungswert. Zeige:
Var(X)=0 <=> P(X=EX)=1.
2)
Berechne die Varianz der Anzahl von roten Kugeln in einer Stichprobe bei der gleichzeitigen Entnahme von n Kugeln aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln.
Bei 2) liegt doch die hypergeometrische Verteilung mit Parametern n,r,s vor, oder?! Wie muß ich vorgehen, wenn ich das weiß?
Sorry, ich bin echt ne Niete in Stochastik, wäre also sehr hilfreich, wenn ihr eure Antworten erklären könntet. DANKE schon mal...
Gruß,
die Eva |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4612
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 10:21: |
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Hi Eva
Zu Deinem zweiten Thema:
Es handelt sich, wie Du richtig sagst,
um eine hypergeometrische Verteilung.
Die Daten sind:
N: Gesamtzahl der Kugeln
r: Anzahl der roten Kugeln
s: Anzahl der schwarzen Kugeln
Also: r + s = N
p: Wahrscheinlichkeit für rot; P = r/N
q = 1 – p = 1 – r/N = (N-r)/N = s/N
n: Umfang der Stichprobe
X: Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe
Gesucht wird P(X = x).
Vor kurzem wurde hier die Formel begründet
P = h(x) = [b(r,x) * b(N-r,n-x)] / b(N,n)
Dabei stellt z.B.
b(N,n) den Binomialkoeffizienten N über n dar.
Für den Erwartungswert E(X) und die Varianz V(X)
gilt:
mü = E(X) = n * p ,wie bei der Binomialverteilung!
(sigma)^2 = V(X) = n p q * [(N - n) / (N - 1)]
Dieser Wert ist um den Faktor in der eckigen Klammer
kleiner als der Wert für V bei der Binomialverteilung.
Das sollte genügen!
Es ist wohl nicht die Aufgabe des Zahlreichteams,
solche zentralen Formeln herzuleiten.
Man findet Entsprechendes in Lehrbüchern.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4613
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. November, 2004 - 10:35: |
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Hi Eva
Es folgt ein kleiner Nachtrag zum zweiten Thema:
Für große N gegenüber n
ist der Faktor in der eckigen Klammer angenähert
eins!
Daher kann man den Faktor vernachlässigen
und die hypergeometrische Verteilung bezüglich
der Varianz wie eine Binomialverteilung behandeln.
Die Frage Zurücklegen oder nicht ist in einem solchen Fall
gewissermaßen irrelevant.
Ein Tip:
Ist N groß und p klein, verwende man die
Poisson-Verteilung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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