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Elastizitäten

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Tantor (Tantor)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tantor

Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 2004 - 07:31:   Beitrag drucken

Hallo,

Also wie folgt :
Der am Markt erzielbare Preis p(x) eines Gutes werde durch die Nachfrage x nach diesem Gut entsprechend folgender Beziehung bestimmt:
p(x)=800exp(-0,01x)

a) Wie groß ist die Nachfrageelastizität des Preises, wenn man von dieser Nachfrage (x=100ME) ausgeht ? Drücken Sie in einem Satz aus, was das bedeutet ?
b) Bestimmen Sie auch die Preiselastizität der Nachfrage für den Preis, der dieser Nachfrage antspricht !

*grübel, nichts versteh ?*
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4602
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 2004 - 21:49:   Beitrag drucken

Hi Tantor

Vor bald drei Jahren habe ich in diesem
Forum eine Arbeit zur Elastizität geschrieben.
Es könnte für Dich nützlich sein, wenn ich
die entsprechende Frage und meine Antworten
dazu nochmals publiziere.

Die Frage lautete:
An welcher Stelle (x größer 0) beträgt die Elastizität der Funktion
f(x)=2x - 3/2 + 1/x Eins? Geben Sie für f(x)
Elastizitätsbereiche an!

Meine Antwort:
Wir berechnen die Elastizität epsilon der Funktion f(x)
für positive x und bezeichnen sie mit E = E(x)
Wir erhalten mit der ersten Ableitung f´(x) von f(x)
E = E(x) = x* f ´(x) / f(x) = [2 x ^ 2 - 1] / [2 x ^ 2 - 3/2 x + 1 ]
E = 1 führt auf die Gleichung - 2 = - 3/2 x ,
daraus x = 4/3
°°°°°°°°°°°°°°
F sei der absolute Betrag der Elastizität E
F = 1 : das Verhalten von f bezüglich x nennt man in diesem Fall
ausgeglichen elastisch.
Bei x = 4/3 befindet sich eine Übergangsstelle von elastischem
zu unelastischem Verhalten:
0 < F <1 bedeutet: f ist an der betreffenden Stelle unelastisch.
1 < F bedeutet: f ist an der betreffenden Stelle elastisch
E = -1 führt auf die Gleichung 4 x ^ 2 = 3/2 x , da x > 0 kommt nur
x = 3/8 in Frage. Auch hier gilt wegen F = 1: das Verhalten ist
ausgeglichen elastisch

Nullstelle bei x = ½ * wurzel(2); hier ist E = F = 0
An dieser Stelle heißt f vollkommen unelastisch oder starr.

Verschaffe Dir Klarheit über den Verlauf der Funktion E
mit einer Skizze des Grafen von E(x).
Beachte: der Graf besitzt eine horizontale Asymptote E = 1,
da lim E(x) = 1 für x strebt gegen unendlich gilt.
Damit tendiert f(x) für große x wiederum gegen den Zustand
ausgeglichener Elastizität

Wir berechnen noch die Ableitung E´(x) der Elastizität:
E´ (x) = -2* [6 x ^2 - 16 x + 3 ] / [4 x^2 -3 x + 2 ) ^ 2
Wir finden ein absolutes Maximum an der Stelle
x = {8+wurzel(46) }/ 6 = 2,4637

Wir finden ein absolutes Minimum an der Stelle
x = {8 - wurzel(46) }/ 6 = 0,20945
Die zugehörigen E-Werte lassen sich leicht berechnen;
ihre absoluten Werte sind größer als 1
und gehören damit zum elastischen Bereich.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4603
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 2004 - 22:03:   Beitrag drucken

Hi

Fortsetzung meiner Antwort von damals:

„Es folgt eine kleine Ergänzung:

Auch das Maple - System kennt sich in der Frage nach Intervallen für
ein elastische Verhalten der gegebenen Funktion aus
Die Frage nach (abs (E) >1), dies bedeutet eben elastisches Verhalten,
wird so beantwortet:
RealRange(Open(4/3), infinity),RealRange(Open(0),Open(3/8))
Ich glaube, die beiden offenen x- Intervalle sprechen für sich.

Anmerkung:
Was bedeutet eigentlich elastisches Verhalten?
Antwort: f reagiert sensibel auf Änderungen von x ,
und zwar um so stärker, je größer der Betrag von E ist.
Geht der Betrag von E gegen unendlich, so spricht man von
vollkommener Elastizität.
Dieser Fall tritt bei Deinem Beispiel bei weitem nicht auf, da
F beschränkt ist, wie die Analyse in der vorigen Arbeit zeigte.“

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4604
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 2004 - 22:06:   Beitrag drucken

Hi Tantor

Ebenfalls vor knapp drei Jahren erschien folgende Frage,
die hierher passt, und meine diesbezügliche Antwort.

Die Frage lautete:
"Sei x = N(p) eine Nachfragefunktion, d.h. x sei die
nachgefragter
Menge eines Gutes, wenn 1 Einheit des Gutes den Preis p hat.

Berechnen Sie für N(p) = 1000/p exp(4-p) an der Stelle p = 4

a) die Preiselastizität der Nachfrage

b) die Preisflexibilität d. Nachfrage,
d.h. die Elastizität der Umkehrfunktion p=N^-1(x)“


Antwort:
a)
Die Preiselastizität epsilon der Nachfrage berechnen
wir mit der Formel
[dN/dp] * p / N
Mit der Quotientenregel berechnen wir die Ableitung von N
nach p
und bekommen, indem wir e ^(4-p) für exp(4-p) setzen:
dN/dp = 1000* [-p* e^(4-p)*- e^(4-p)] / p^2 =
-1000* e^(4-p)*[ p + 1 ] / p^2 , somit
epsilon = - (p +1), für p=4 kommt
epsilon = - 5
°°°°°°°°°°°°
Da der absolute Betrag von epsilon größer als eins ist,
so ist die Nachfrage preiselastisch.
Übrigens:
Die Preiselastizität der Nachfrage bringt zum Ausdruck,
wie stark die Nachfrage nach einem Gut auf Preisänderungen
dieses Gutes reagiert.

b)
Der Reziprokwert eta der unter a) berechneten Elastizität
ist gerade die Elastizität der inversen Funktion N^-1(x),
wie man aus der obigen Formel abliest (scharfes Hinsehen!)
Dieser Reziprokwert der Preiselastizität heißt Preisflexibilität
eta der Nachfrage; somit
eta = ¼
°°°°°°°
Die Preisflexibilität der Nachfrage bringt zum Ausdruck,
wie stark der Preis eines Gutes auf Mengenänderungen
dieses Gutes reagiert.


Nochmals zur Teilaufgabe b) :
Die Preisflexibilität beträgt 1/5
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Reziprokwert des Resultates aus Teilaufgabe a)

Nun ist Feierabend und Elastizität des Schlafs angesagt!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Tantor (Tantor)
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Benutzername: Tantor

Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. November, 2004 - 11:52:   Beitrag drucken

Hallo

also wenn ich jetzt ansetze bei a)

E(x) = x * f'(x) / f(x) = - x / 100
E(100) = -1

was weiß ich denn dann jetzt ?
Bzw. muß ich dann betrachten abs(E(100)) oder wie ?
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Tantor (Tantor)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tantor

Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. November, 2004 - 12:24:   Beitrag drucken

also dann auch noch zu der b)

da habe ich als erstes den Preis für x = 100 bestimmt, also p(100)=294,30

Dann bilde ich die Umkehrfunktion von p(x)
als q(x) = -100 * ln (x/800)
q'(x) = -100/x

E(x) = x*q'(x)/q(x)=1 / ln(x/800)

dann bilde ich E(294,30) = -0,99

ist das so richtig ?
Und wie interpretiere ich dieses Ergebnis nun...
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4606
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. November, 2004 - 21:34:   Beitrag drucken

Hi Tantor

Antwort : ja
„Das Verhalten von p bezüglich x an der gegebenen Stelle
ist ausgeglichen elastisch“
(lies in meinem gestern veröffentlichten Text nach !).

Mit freundlichen Grüßen
H.R,Moser,megamath
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Joboix (Joboix)
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Nummer des Beitrags: 1
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Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2006 - 10:23:   Beitrag drucken

Hier eine Erklärung aus David Romer, Advanced Macroeconomics: „Suppose we want to account for a difference of a factor X in output per worker between two economies on the basis of differences in capital per worker. If output per worker differs by a factor of X, the difference in log output per worker between the two economies is ln X. Since the elasticity of output per worker with respect to capital per worker is alphaK, log capital per worker must differ by (ln X)/alphaK. That is, capital per worker differs by a factor of exp(ln X)/alphaK, or Xhoch1/alphaK.
[…] Thus we would like to account for values of X in the vicinity of 10. Our analysis implies that doing this on the basis of differences in capital requires a difference of a factor of 10hoch1/alphaK in capital per worker. For alphaK=1/3, this is a factor of 1000.”
Was ich nicht verstehe ist folgendes: Die Elastizität gibt doch an, um wieviel % sich der Funktionswert f(x) verändert, wenn sich der x-Wert um 1% verändert. Eine Erhöhung von f(x) um den Faktor 10 ist doch eine Erhöhung um 900%. Wenn die Elastizität ein Drittel beträgt, heißt das doch dann, dass x um 2700% gestiegen sein muss. Oder nicht? Kann mir jemand die obige Erklärung in Formelsprache und schön ausführlich wiedergeben? Danke!

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