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Eva191105 (Eva191105)
Junior Mitglied Benutzername: Eva191105
Nummer des Beitrags: 14 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 13:46: |
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Hallo. Ich verzeifel hier so langsam, weiß überhaupt nicht mehr, auf welche Art ich die Aufgabe angehen soll, da mich die Tips des Profs doch arg verwirrt haben..... Entwickle die folgenden Funktionen in Potenzreihen mit Entwicklungspunkt x_0=7 und bestimme die Konvergenzradien. 1)f(x)=1/x, x ungleich 0 2)f(x)=1/x², x ungleich 0 3)f(x)=cosx Ich dachte, das geht mit der Taylorformel wohl irgendwie. Dabei müßte ich doch die Funktionen mehrfach ableiten und dann in die Formel g(x)=g(x_0)+((g´(x_0))/1!)*(x-x_0)+((g´´(x_0))/2!)*(x-x_0)²+...+((g^n(x_0))/n!)*(x-x_0)^n einsetzen, oder?! Danach kann man doch in der Regel eine Summenformel ablesen, richtig? Mein Professor sagte jetzt allerdings, wir sollen x schreiben als (7+x-7). Das das geht ist mir schon klar, was mir das bringen soll leider gar nicht... Kann mir bitte jemand ganz schnell weiterhelfen? Danke schön schon mal!!! Gruß, die Eva |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4597 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 16:53: |
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Hi Eva Lösung der Teilaufgabe 1 Wir verwenden die Entwicklung von f(x) nach Taylor für das beliebige Zentrum x0. Das allgemeine Summenglied lautet: fk(xo)/ k! * (x - xo)^ k; der Summationsindex k läuft von k = 0 bis unendlich, fk ist die k-te Ableitung der Funktion f(x) Für die Funktion f(x) = 1 / x erhalten wir der Reihe nach für xo = 7: fo(x) = 1 / x ; also fo(7) = 1/7 f1(x) = - 1 / x^2 ; also f1(7) = - 1/7^2 f2(x) = 2! / x 3; also f2(7) = 2!/7 ^3 f3(x) = -3! / x^4 ; also f3(7) = -3!/7^4 f4(x) = 4! / x^5 ; also f4(7) = 4!/7^5 allgemein für k: fk(x) = (-1)^k * k! / x^(k+1) ,also fk(7) = (-1)^k * k! / 7^(k+1) Setzen wir dies ind die Summenformel ein, so kommt die Summe (Taylorreihe) 1/7 - 1/7^2 * (x-7) + 1/7^3 *(x-7)^2 - 1/7^4 *(x-7)^3 + 1/7^5 *(x-7)^4 - ….. oder: 1/7-1/49*(x-7)+1/343*(x-7)^2-1/2401*(x-7)^3+1/16807*(x-7)^4-.. analog gehen 2) und 3) MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4598 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 17:12: |
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Hi Eva Du kannst die Teilaufgabe 1 auch mittels einer unendlichen geometrischen Reihe lösen, mit allem Drum und Dran (Konvergenz!). Schreibe 1/x als Bruch (1/7) / [ 1 + ( x -7 ) / 7 ] Interpretiere dies als Summenwert einer unendlichen geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied 1/7 und dem Quotient q = - (x -7) / 7 Fordere noch abs(q) < 1. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Eva191105 (Eva191105)
Junior Mitglied Benutzername: Eva191105
Nummer des Beitrags: 15 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 20:48: |
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Also erstmal DANKE! Die ersten beiden Teilaufgaben konnte ich jetzt lösen. Aber bei der 3. klappt das irgendwie nicht so, wie ich das gerne hätte... Wenn ich cosx ableite, dreh ich mich ja quasi im Kreis, also -sinx, -cosx, sinx und wieder cosx. Daraus kann ich aber keine vernünftige Reihe basteln, die sich in einer Summenformel darstellen läßt. Wie mach ich das denn in diesem Fall?! Gruß, die Eva |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4599 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 08. November, 2004 - 07:01: |
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Hi Eva Das Resultat im dritten Fall lautet: cos (7) – sin(7) *( x-7) - ½ * cos(7) *(x-7)^2 +1/6 * sin(7) * (x-7)^3 + 1/24 * cos(7) *(x-7)^4 - 1/120 *sin(7) *(x-7)^5 - ….. Dieses Ergebnis erhält man ohne Weiteres aus der Formel, die ich in meinem vorletzten Beitrag zum Thema angegeben habe. Beachte insbesondere die Fakultäten in den Nennern. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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