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Fkt in Potenzreihe entwickeln, Konver...

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Eva191105 (Eva191105)
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Junior Mitglied
Benutzername: Eva191105

Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 13:46:   Beitrag drucken

Hallo.

Ich verzeifel hier so langsam, weiß überhaupt nicht mehr, auf welche Art ich die Aufgabe angehen soll, da mich die Tips des Profs doch arg verwirrt haben.....

Entwickle die folgenden Funktionen in Potenzreihen mit Entwicklungspunkt x_0=7 und bestimme die Konvergenzradien.
1)f(x)=1/x, x ungleich 0
2)f(x)=1/x², x ungleich 0
3)f(x)=cosx

Ich dachte, das geht mit der Taylorformel wohl irgendwie. Dabei müßte ich doch die Funktionen mehrfach ableiten und dann in die Formel
g(x)=g(x_0)+((g´(x_0))/1!)*(x-x_0)+((g´´(x_0))/2!)*(x-x_0)²+...+((g^n(x_0))/n!)*(x-x_0)^n
einsetzen, oder?! Danach kann man doch in der Regel eine Summenformel ablesen, richtig?

Mein Professor sagte jetzt allerdings, wir sollen x schreiben als (7+x-7). Das das geht ist mir schon klar, was mir das bringen soll leider gar nicht...

Kann mir bitte jemand ganz schnell weiterhelfen?
Danke schön schon mal!!!

Gruß,
die Eva
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4597
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 16:53:   Beitrag drucken

Hi Eva

Lösung der Teilaufgabe 1

Wir verwenden die Entwicklung von f(x)
nach Taylor für das beliebige Zentrum x0.
Das allgemeine Summenglied lautet:
fk(xo)/ k! * (x - xo)^ k;
der Summationsindex k läuft von
k = 0 bis unendlich,
fk ist die k-te Ableitung der Funktion f(x)

Für die Funktion f(x) = 1 / x erhalten wir der
Reihe nach für xo = 7:
fo(x) = 1 / x ; also fo(7) = 1/7
f1(x) = - 1 / x^2 ; also f1(7) = - 1/7^2
f2(x) = 2! / x 3; also f2(7) = 2!/7 ^3
f3(x) = -3! / x^4 ; also f3(7) = -3!/7^4
f4(x) = 4! / x^5 ; also f4(7) = 4!/7^5

allgemein für k:
fk(x) = (-1)^k * k! / x^(k+1) ,also
fk(7) = (-1)^k * k! / 7^(k+1)

Setzen wir dies ind die Summenformel ein,
so kommt die Summe (Taylorreihe)
1/7 - 1/7^2 * (x-7) + 1/7^3 *(x-7)^2
- 1/7^4 *(x-7)^3 + 1/7^5 *(x-7)^4 - …..
oder:
1/7-1/49*(x-7)+1/343*(x-7)^2-1/2401*(x-7)^3+1/16807*(x-7)^4-..


analog gehen 2) und 3)

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4598
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 17:12:   Beitrag drucken

Hi Eva

Du kannst die Teilaufgabe 1 auch mittels
einer unendlichen geometrischen Reihe lösen,
mit allem Drum und Dran (Konvergenz!).

Schreibe 1/x als Bruch
(1/7) / [ 1 + ( x -7 ) / 7 ]

Interpretiere dies als Summenwert
einer unendlichen geometrischen Reihe
mit dem Anfangsglied 1/7
und dem Quotient q = - (x -7) / 7

Fordere noch abs(q) < 1.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Eva191105 (Eva191105)
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Junior Mitglied
Benutzername: Eva191105

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 20:48:   Beitrag drucken

Also erstmal DANKE! Die ersten beiden Teilaufgaben konnte ich jetzt lösen. Aber bei der 3. klappt das irgendwie nicht so, wie ich das gerne hätte...
Wenn ich cosx ableite, dreh ich mich ja quasi im Kreis, also -sinx, -cosx, sinx und wieder cosx. Daraus kann ich aber keine vernünftige Reihe basteln, die sich in einer Summenformel darstellen läßt. Wie mach ich das denn in diesem Fall?!

Gruß,
die Eva
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4599
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 08. November, 2004 - 07:01:   Beitrag drucken

Hi Eva

Das Resultat im dritten Fall lautet:

cos (7) – sin(7) *( x-7) - ½ * cos(7) *(x-7)^2
+1/6 * sin(7) * (x-7)^3 + 1/24 * cos(7) *(x-7)^4
- 1/120 *sin(7) *(x-7)^5 - …..


Dieses Ergebnis erhält man ohne Weiteres aus der Formel,
die ich in meinem vorletzten Beitrag zum Thema angegeben
habe.
Beachte insbesondere die Fakultäten in den Nennern.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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