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Fibonacci (allgemein)

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Fibonacci (allgemein) « Zurück Vor »

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1677
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 10:43:   Beitrag drucken

Hi,

ich habe grade mit Induktion bewiesen, dass für das n-te Glied der Folge fn: 1,1,2,3,5,8,... also die Folge der Fibonacci Zahlen gilt:

fn= {[1+sqrt(5)]/2 - [1-sqrt(5)]/2}/sqrt(5)

So nun kommt die nächste Aufgabe:

Man betrachte die Folge an+2=an+1+an , mit a1 = a , a2 = b!

Naja, das ist ja nichts anderes als die Folge der Fibonacci Zahlen, nur mit beliebigen Startwerten, bei fn war f1 = f2 = 1!

Nur wie kann ich nur mit Hilfe des Induktionsbeweises von fn auf eine Formel für beliebige Startwerte bei an kommen?

Eine weitere Frage ist, für welche a und b die Folge an konvergiert!

Hoffe ihr könnt mir kurz auf die Sprünge helfen!

mfg
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 914
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 14:23:   Beitrag drucken

Hallo,

Vorschlag:

Die Menge aller Folgen an mit

an+2=an+1 + an

bildet einen reellen Vektorraum der Dimension 2.

Betrachte die speziellen Folgen (Fn) mit

Fn = (an - bn)/sqrt(5)

(Fibonacci) und

Ln = an + bn (Lucas).

Hier ist a := (1+ sqrt(5))/2 ,

b := 1- a ,

und für die Lucas-Folge ist : L0 = 2 , L2 = 1 .

Die Folgen (Fn) und (Ln) bilden eine Basis
des genannten Vektorraumes, also gilt

an = A*Fn + B*Ln.

Die Koeffizienten A,B bestimmst Du leicht mittels der
Anfangswerte.
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1678
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 17:06:   Beitrag drucken

Hi Orion,

die Idee ist nicht schlecht...

Nur muss ich alles was noch nicht in der Vorlesung bewiesen wurde, und ich es trotzdem benutzen möchte dann selbst beweisen.

Das wäre doch beim Thema Vektorraum ein wenig viel...

Es muss da auch eine einfach Lösung geben, weil ja sonst der Induktionsbeweis für die Fibonacci Zahlen in Aufagbenteil a) nicht verlangt worden wäre...Bis jetzt konnte man in mehrgliedrigen Aufgaben immer Teil a) bei b) benutzen, so das b) einfach zu lösen war! Aber diesmal sehe ich keinen Weg...

Mich würde auch die Konvergenzfrage interesieren, weil die Fibonacci - Folge divergiert ja..., wie es scheint finder man in N keine Zahlen, für die die Reihe konvergiert...

mfg
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 915
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 21:05:   Beitrag drucken

Hallo,

Die allgemeine Lösung der Rekursionsgleichung für
an lautet wie leicht nachzurechnen (beachte dazu,
dass a2 = a +1, b2 =
b + 1 , ab = -1) :

an = A*an + B*bn,

mit reellen Konstanten A,B. Letztere sind offenbar durch die Startwerte a0,a1
(oder auch a1,a2) eindeutig bestimmt.
(Gleichungssystem). Konvergenz
findet statt g.d.w. A=0.

Oben muss es übrigens heissen L1 = 1.
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1679
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 06. November, 2004 - 23:45:   Beitrag drucken

Hi nochmal,

also die Lösung der Rekursionsgleichung "einfach" nachzurechnen ist mir bis jetzt nicht gelungen.

Das Gleichungssystem habe ich jetzt nach 4 Versuchen hoffentlich gelöst:

Wenn a1 = a und a2 = b

Dann gilt:

A = [sqrt(5)*(b-a) + (3a - b)]/2*sqrt(5)
B = -[sqrt(5)*(a-b) + (3a - b)]/2*sqrt(5)

also für a=b=1 stimmts ja dann kommt:

A = -B = 1/sqrt(5) wie beim "original" Fibonacci.

Setze ich nun A = 0 so erhalte ich folgende Bedingung für die Konvergenz:

b = -a*(sqrt(5) - 1)/2

D.h. doch das die Folge nicht konvergiert, da diese Relation für keine zwei natürlichen Zahlen erfüllt ist, oder?
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Isuami (Isuami)
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Benutzername: Isuami

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 07:09:   Beitrag drucken

@ti 98:
so geht es einem, wenn man liest : wie man leicht nachrechnet oder wie man leicht sieht! du selbst verwendest es auch oft. In den Abhandlungen mit Megamath. Ihn habe ich übrigens höflich um einen Geometriebuch-Tipp gefragt, aber nie eine Antwort bekommen.

mfG
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 916
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 08:11:   Beitrag drucken

Hallo,

Das Nachrechnen der Rekursion sollte eigentlich
nicht so schwer sein :

an+2 = an* a2 =

an (a + 1) =

an+1 + an.

Dasselbe gilt für b und folglich auch für
an = A*an+ B*bn (Linearität !)

Dann hat man für A,B das Gleichungssystem

A + B = a0 = b-a

a A + b B = a1 = a

zu lösen. Ich finde (rechne nach !)

A = [(1+b)a-bb]/sqrt(5)

B = [ab - (1+a)a]/sqrt(5)

Konvergenz : Wenn a,b natürliche Zahlen sein sollen,
dann gilt dies auch für alle Folgenglieder. Eine solche
Folge kann nie konvergieren, es sei denn sie ist
konstant Null (a=b=0).
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1680
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 09:43:   Beitrag drucken

Hi Orion,

ja deine Ergebnisse decken sich mit meinen!

Ich hatte heute nacht noch eine kleine Idee und ich glaube es geht doch einfacher:

Ich habe mir einfach mal ein paar Folgeglieder aufgeschreiben:

a1=a , a2=b , a3=(a+b), a4=(a+2b) , a5=(2a+3b) , a6=(3a+5b) , a7=(5a+8b), a8=(8a+13b)...

Man beachte die Koefizienten vor a bzw b, offenbar gilt:

an+2 = fna + fn+1b [n³1]

Wobei fn die Fibonacci Folge ist, wofür ich ja die Richtigkeit des n-ten Folgegliedes schon per Induktion bewiesen habe!

Was hälst du von dieser Idee?? So gehts doch auch, dann muss ich jetzt nur noch per Induktion beweisen, das wenn an+2 für n=1 gilt, das dann auch der Schritt von n -> n+1 gilt...

mfg
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 917
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. November, 2004 - 10:54:   Beitrag drucken

Hallo,

Ja, in der Tat ist

an = a* Fn-2 + b*Fn-1,

und das gilt auch für n = 0 und n = 1, wenn man

F-2 = -1 , F-1 = 1 beachtet. Der Beweis durch
Induktion ist “sraightforward".
mfG Orion

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