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Subby (Subby)
Neues Mitglied
Benutzername: Subby
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 2004 - 10:42: | 
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Hi!
Habe grad mit dem studieren Angefangen, und die erste Übungsaufgabe bekommen. Wir sollen etwas beweisen. Die Behauptung ist schon logisch, und ich könnte sie auch in sätzen erklären, ich weiss nur nicht genau wie ich sie mit in der Mathematik beweisen soll 
Also:
Def.: X1 + X2 := {a + b : a element A, b element B}
Für A = {a} (Einpunktmenge) schreibt man auch a + B
(a) Es seien X1, X2 beschränkte Teilmengen von R. Zeigen Sie:
inf X1 + inf X2 =< inf(X1 + X2) =<
inf X1 + sup X2 =< sup(X1 + X2)
=< sup X1 + sup X2
(b)
Es sei a Element R und X eine Beschränkte Teilmenge von R. Dann gilt:
inf(a + X) = a + inf X,
sup(a + X) = a + sup X
Danke!  |
Hansibal (Hansibal)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Hansibal
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 2004 - 13:05: |
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Hallo,
probier es mal mit Fallunterscheidungen.
mfg
Hansibal |
Hansibal (Hansibal)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Hansibal
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 2004 - 13:06: |
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Jetzt habe ich noch was vergessen,
am matheplanet hat es dasselbe vor kurzem gegeben.
mfg
hansibal |
Subby (Subby)
Neues Mitglied
Benutzername: Subby
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 2004 - 15:03: |
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Hab da echt garkeinen ansatz.
Ich habe mir das mal anschaulich klar gemacht:
X1 = {-1, 0, 1, 2}
X2 = {-2, -1, 0, 1, 2}
X1 + X2 = X3 = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
inf X1 + inf X2 = -1 + (-2) = -3
inf(X1 + X2) = -3
also:
inf X1 + inf X2 =< inf(X1 + X2) = -3
stimmt das so?
Aber wie beweise ich das jetzt, und wieso =< und nicht nur = ?
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1014
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Oktober, 2004 - 00:23: |
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Ein wichtiger Schritt zur Universitätmathematik ist es, Beweise nicht alleine auf Anschauung beruhen zu lassen, sondern sich streng auf Axiome und Definitionen zu beziehen.
Du wirst also nicht drum herum kommen, Dir die Definition des Infimums näher anzuschauen und damit weiter zu arbeiten.
inf X:=Max{a|a<x für alle x}
Es ist zwar meistens hilfreich sich ein paar Beispiel zu überlegen, aber es sollten halt schon allgemeinere sein. Du hast Dir eine endliche Menge ausgesucht. Das ist zwar nicht verboten, aber doch eher unpraktisch, denn das Infimum einer endlichen Menge ist ja gleich seinem Minimum. Problematischer sind Mengen, die kein Minimum besitzen, also solche, die nach unten offen sind. (Beispielsweise X=]0;1] => Inf X=0)
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Subby (Subby)
Junior Mitglied
Benutzername: Subby
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Oktober, 2004 - 22:19: |
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Also ich hab echt nich so ne richtige Idee...
Hab jetzt irgendwas rumprobiert mit:
Es gibt ein y1 so das für alle x1 element X1 gilt y1 <= x1
Es gibt ein y2 so das für alle x2 element X2 gilt y2 <= x2
Also y1 + y2 <= x1 + x2
Aber im Grunde ist das einfach nur rumprobiert.
Ich hab da einfach keinen Ansatz...
Vielleicht weil das so ziemlich der erste Beweis ist den ich mache. Wäre echt nett wenn hier jemand nicht einfach die Lösung hinschreibt, sondern vor allem wie man vorgeht um auf so eine Lösung zu kommen.
PS: Kann mir jemand ein gutes LA-Buch empfehlen? (Oder gehört das nicht hier rein?)
MfG, Subby |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1017
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Oktober, 2004 - 09:55: |
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OK, vielleicht reicht es, wenn ich die erste Ungleichung beweise.
Sei I1=Inf X1 und I2=Inf X2, dann gilt für alle x1€X1 x2€X2 die Aussage
I1£x1 und I2£x2
=> I1+I2£x1+x2 "(x1,x2)€X1xX2
=> I1+I2£Max{a|a£x1+x2}=Inf(X1+X2)
[In Worten: I1+I2 ist eine untere Schranke, also sicher kleiner oder gleich der grössten unteren Schranke]
Weiter geht es dann mit dem Supremum: Was ist das Supremum? Die kleinste obere Schranke.
Also gilt x2£sup(X2)"x2€X2
Somit auch x1+sup(X2)³x1+x2 und weiter
Inf(X1)+Sup(X2)³Inf(X1+X2)
usw.
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Subby (Subby)
Junior Mitglied
Benutzername: Subby
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Oktober, 2004 - 16:02: |
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Danke!
Wich schau mir das mal genau an. Und komm dann sicher allein weiter |
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