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Minimum einer Funktion mit 2 Varaiblen

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Kristoi (Kristoi)
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Junior Mitglied
Benutzername: Kristoi

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 12:08:   Beitrag drucken

Guten Tag,
ich versuche die optimalen Kantenlängen eines Quaders zu ermitteln, so dass das Verhältnis von Oberfläche O zu Volumen V minimal ist.

Der von mir bisher verwendete Ansatz ist wie folgt:

Quader mit Kantenlängen A, B, und C:
gesucht sind die beiden optimalen Kantenlängenverhältnisse A/B und C/B

V = A B C
O = 2AB + 2AC + 2BC
O/V = 2/C + 2/B + 2/A

Parameter: (A/B) und (C/B)
=> A = B (A/B); C = B (C/B)
=> V = (A/B) (C/B) B³
O/V = 2( 1/B (C/B)-1 + 1/B + 1/B (A/B)-1)
mit: B = V^-1/3 x (A/B)^-1/3 x (C/B)^-1/3
=> O/V = 2/V^-1/3 x ((A/B)^1/3 x (C/B)^-2/3 + (A/B)^1/3 x (C/B)^1/3+ (A/B)^-2/3 x (C/B)^1/3)

Bedingung für Extremwert:
(O/V) = 0
und d(O/V)/d(A/B) = 0
und d(O/V)/d(C/B) ungleich 0
Bedingung für Minimum: (d²(O/V) / d(A/B)²)/(d(O/V)/d(C/B) < 0

führt nicht zum Ziel, da nach weiterem Auflösen eine unlösbare Gleichung herauskommt.
Als Ergebnis ewrwarte ich, dass (A/B)=(C/B)=1 ist, also ein Würfel.

Wer kann mir bei dem Nachweis helfen?
Danke und Gruß
Kristoi
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2393
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 12:49:   Beitrag drucken

Da muß wohl eher f(A,B,C) = V/O betrachtet werden, und dann könnte man z.B. A = 1 annehmen, also nur
noch f(B,C)
und
dann versuchen
das System df/dB = 0 und df/dC = 0 zu lösen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1565
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 13:12:   Beitrag drucken

Hallo Kristoi

Ich finde die Aufgabe macht so wenig Sinn. Du hast ja oben die Formel
O/V=2/A+2/B+2/C
Und das wird logischerweise minimal, wenn A,B und C gegen unendlich gehen. Da kann man im Prinzip keine Aussage über Kantenlängenverhältnisse machen.

Ich denke die Aufgabe ist so gemeint, dass nur eine bestimmte Gesamtkantenlänge zur Verfügung steht. Dann kommt am Ende auch ein Würfel raus.

MfG
Christian
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2394
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 13:44:   Beitrag drucken

application/pdfpart
part.pdf (12.2 k)

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Kristoi (Kristoi)
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Junior Mitglied
Benutzername: Kristoi

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 06-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 15:23:   Beitrag drucken

Vielen Dank,
Ich weiss zwar, dass der Würfel das Optimum ist. Aber wo ist der Beweis, dass das gesuchte Optimum bei A = B = C liegt?
Ich würde das gerne klassisch, also als Extremwertaufgabe lösen und der Lösungsweg sollte allgemeingültig auch für ähnliche Probleme gelten.
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2395
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 15:41:   Beitrag drucken

hast Du denn mein "part.pdf" nicht angesehen ?
( fehlt der acrobat reader? )
Der Lösungsweg IST ALLGEMEINGÜLTIG .
Wenn mehrere Variablen im Spiel sind müssen für ein
Extremum die partiellen Ableitungen nach allen
Variablen 0 sein.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1566
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 15:45:   Beitrag drucken

Hallo Kristoi

Du kannst das im Prinzip so machen wie es bei Friedrich steht. Fehlt nur noch, dass es sich auch tatsächlich um ein Maximum handelt.

Ich würde dir trotzdem empfehlen die Funktion
O/V=2/A+2/B+2/C [Statt V/O]
partiell zu differenzieren.
Dann müssen die Gleichungen
-2/A2=0
-2/B2=0
-2/C2=0
gelten. Daraus folgt sofort A=B=C.

Jetzt musst du noch die Hessematrix berechnen an der Stelle f(A,A,A). Du erhältst dann 4/A3 mal die Einheitsmatrix. Also offenbar eine positiv definite Matrix und es liegt ein Minimum vor.

Es liegen an den Stellen allerdings nur lokale Minima vor! Ein globales Minimum gibt es nicht. Du kannst die Seitenlängen so wählen, dass das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen beliebig klein wird(Und dafür müssen die Seitenlängen nicht alle gleich sein).

MfG
Christian
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1567
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 16:13:   Beitrag drucken

Hallo nochmal

Ich sehe gerade, dass meine Gleichungen oben natürlich überhaupt nicht lösbar sind. Damit gibt es keine lokalen Minima, was auch eigentlich nicht verwunderlich ist, wenn man sich mal überlegt wie die Funktion verläuft.

Also musst du doch so vorgehen wie ich es oben beschrieben habe. Du musst eine Nebenbedingung einbauen. Wir nehmen mal an, dass noch
A+B+C=D gelten soll mit einer festen Zahl D.

Dann liefert die Methode der Lagrange-Multiplikatoren:
-2/A2=l
-2/B2=l
-2/C2=l
mit einem l aus IR.
Der Fall l=0 kann nicht sein. Sei also l¹0. Dann folgt A=B=C. Mit der Nebenbedingung A=B=C=D/3.

Hier müsste man jetzt auch noch nachweisen, dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt. Geht vielleicht mit der erweiterten Hesse-Matrix. Werd ich später mal testen.

Bei Friedrich sind glaub ich die Ableitungen falsch. Maple kommt jedenfalls bei der Ableitung nach A auf B2C2 im Zähler usw. Dann würde folgen A=B=C=0, was aber nicht erlaubt ist.

MfG
Christian
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2396
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 17:28:   Beitrag drucken

ok, war etwas vorschnell dann ist es eben
application/pdfkorr
korr.pdf (12.5 k)

mit gleichem Ergebenis
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4408
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. September, 2004 - 07:55:   Beitrag drucken

Hi Friedrichlaher

Der guten Ordnung halber:

Du hast wahrscheinlich nicht bemerkt, dass sich auch in der
letzten Version Deines Beitrags Fehlschlüsse breit machen.
Schon aus der Beziehung (1) ergibt sich sofort B C = 0,
und so weiter.
Auf die ganze Problematik hat schon Christian hingewiesen

Wahrscheinlich hat sich die Angelegenheit inzwischen
da und dort geklärt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2398
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. September, 2004 - 13:06:   Beitrag drucken

Ziel der der unrsprünglichen Aufgabe ist ja wohl,
den bei gegebener Oberfläche voluminösesten Quader
zu bestimmen. Es mag auch noch andere Wege zur Lösung geben, der folgende Funktionert aber
application/pdfquader
quader.pdf (31.3 k)


Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1568
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. September, 2004 - 13:47:   Beitrag drucken

Hallo Friedrich

So geht es sicher. Man muss aber wie ich schon sagte noch eine Nebenbedingung haben. Bei dir ist die Oberfläche gegeben. Ich hatte vorgeschlagen, dass man die Gesamtkantenlänge als gegeben nimmt. Beides führt zum gleichen Ergebnis.

MfG
Christian

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