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Bestimmtes Integral

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Chris80 (Chris80)
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Junior Mitglied
Benutzername: Chris80

Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 07-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 15:55:   Beitrag drucken

Hallo zusammen,

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

ò0 ¥ x*e-½x2 dx

Wenn ich das integriere bekomme ich da
-e-½x2 raus.

Aber wie setzte ich die grenzen [0,¥] ein?
Und was kommt raus wenn ich die grenzen einsetze?
Ich hab da -1 raus aber ich glaube das stimmt nicht.
was ist denn e-¥?

Wer kann mir da helfen?
Nicht nur ergebnis, bitte erklärung !!!
Danke im Vorraus.
Gruß Chris
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1488
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 16:04:   Beitrag drucken

Hallo Chris

Sowas nennt man uneigentliches Integral. Deine Stammfunktion ist richtig.

Du nimmst jetzt als untere Grenze 0, also obere a. Dann lässt du a gegen unendlich laufen. D.h. du muss den Grenzwert lim(a->¥) -e-a2/2 bilden. Und das ist offenbar 0.

Also haben wir
ò0 ¥ x*e-x2/2 dx
=lim(a->¥) [-e-x2/2]0a
=lim(a->¥) -e-a2/2+e-02/2
=1

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1564
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 16:05:   Beitrag drucken

Hi,

die Lösung ist 1, nicht -1!

Deine Stammfunktion ist noch richtig!

Dann geht es um Grenzwerte:

Es gilt:

lim x->inf ==> e^x -> inf

e^-x = 1/e^x

==> lim x->inf ==> e^-x -> 0

Merke:
e^x wächst schneller als jede Potenz von x!

mfg

PS: Da war der Christian wohl mal wieder schneller!!

(Beitrag nachträglich am 26., August. 2004 von tl198 editiert)
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Chris80 (Chris80)
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Benutzername: Chris80

Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 07-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 17:17:   Beitrag drucken

Hallo zusammen,

Danke, bin ich auch mittlerweile jetzt selber drauf gekommen.
Aber ich hab sofort das nächste Problem.
Ich weiß nicht wie ich die folgende Fkt.integrieren soll.
wer kann mir das mal genau erklären?
Gruß Chris
Integral
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 905
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 17:33:   Beitrag drucken

Chris,

Hinweis: Setze

J(n) := ò0 ¥ x2n+1 exp(-x2/2) dx.

Dann ist J(0) = 1 (s.o.). Ferner erhält man durch
partielle Integration die Rekursionsformel

J(n+1) = (2n+2) J(n).
mfG Orion
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Chris80 (Chris80)
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Junior Mitglied
Benutzername: Chris80

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 07-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 17:46:   Beitrag drucken

Toll, jetzt bin ich genau so schlau wie vorher.
Mit partieller Integration komm ich nicht weiter.
Kann mir das mal bitte einer vorrechnen?

Gruß Chris
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1492
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 18:12:   Beitrag drucken

Hallo

Bezeichnungen seien wie bei Orion.
Setze u'=x*e-x2/2, v=x2n+2
=> u=-e-x2/2, v'=(2x+2)x2n+1

J(n+1)=ò0 ¥v*u'dx
=[u*v]0¥+(2n+2)ò0 ¥v'*u dx

Letzteres Integral ist gerade J(n). Der Term in den eckicken Klammern ergibt Null, womit die Rekursionsformel gezeigt ist.

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1566
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 18:37:   Beitrag drucken

Hi,

die Lösung für dein Integral kann auch so geschrieben werden:

J(n) = ò0 ¥ x^(2n+1)*e^(-(1/2)*x^2) dx

J(n) = 2^n * n!

Wenn es dir wieder um einen Induktionsbewies geht!

mfg
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Chris80 (Chris80)
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Benutzername: Chris80

Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 07-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. August, 2004 - 19:10:   Beitrag drucken

Hallo,

mein Ansatz ist folgender:
int2

bitte einfach NUR weiterrechnen !!!!!!!!!!!!!
NUR weitermachen, keine überflüssigen sachen die ich nicht verstehe.
Nochmal: Ich will NUR wissen wie ich jetzt an
dieser Stelle weiter mache !!!!!!!!!!!!

Gruß Chris
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1495
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. August, 2004 - 11:52:   Beitrag drucken

Hallo Chris

Dein Ansatz ist richtig. Im Prinzip das gleiche was ich oben auch schon geschrieben habe.

ò0 ¥ x2n+3*e-x2/2 dx
=[1/(2n+4)*x2n+3*e-x2/2]0¥+1/(2n+4)*ò0 ¥ x2n+5*e-x2/2 dx

So, und da rechnen wir jetzt erstmal den Term in den eckigen Klammern aus. Die e-Funktion wächst schneller als jede Polynomfunktion. Also ist der Grenzwert 0 für x->¥. Setzt man die untere Grenze Null ein, so erhält man wieder 0, also fällt der Term in den eckigen Klammern weg und wir haben noch
ò0 ¥ x2n+3*e-x2/2 dx
=1/(2n+4)*ò0 ¥ x2n+5*e-x2/2 dx

Und das ist ja wieder nichts anderes als Orions Rekursionsformel. Und die brauchst du auch! Wir haben mit den Bezeichnungen von Orion:

J(n+1)=1/(2n+4)*J(n+2)
[Setzt einfach die n's ein, dann siehst du die Beziehung]
Also haben wir J(n+2)=(2n+4)J(n+1)
Außerdem ist J(0)=1.
Damit hat man
J(n+2)=(2n+4)J(n+1)=(2n+4)(2n+2)*J(n)
=...=(2n+4)(2n+2)(2n)(2n-2)*...*J(0)
=2*(n+2)*2*(n+1)*2*(n)*2*(n-1)*...*1
=2n+2*(n+2)!

Daraus folgt dann natürlich auch
J(n)=2n*n!

MfG
Christian

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