| Autor |
Beitrag |
    
Chris80 (Chris80)
Junior Mitglied
Benutzername: Chris80
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 07-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. August, 2004 - 13:51: | 
|
Hallo zusammen,
ich hab mal wieder 'ne Aufgabe mit der ich total nicht klarkomme. Weiß noch nicht mal den Ansatz.
ò0 ¥ x103n+102 exp(-x103/103)dx = (103)n*n! " n aus N0
Man muss zeigen das das für n=0 gilt und dann für n+1. Aber viel mehr weiß ich nicht.
Wer kann mir da weiterhelfen?
(n!) soll natürlich n Fakultät heißen.
Bitte mit Rechenweg+ Erklärung !!!!!!!!
Danke im Vorraus.
Gruß Chris |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1551
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. August, 2004 - 15:34: |
|
Hi,
substituier mal:
(x^103)/103 = t
Dann wird es deutlich einfacher!
mfg |
Chris80 (Chris80)
Junior Mitglied
Benutzername: Chris80
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 07-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. August, 2004 - 15:47: |
|
Hallo !!
Nee, mit Substitution haben wir da nie was gemacht.
Also ich hab herausgefunden das man die funktion integrieren kann wenn man für n=0 einsetzt,
das hab ich noch gerade so hinbekommen. Durch einsetzen der Grenzen steht links und rechts vom Gleichheitszeichen eine 1. Also ist die Gleichung für n=0 wahr. Ich muss jetzt zeigen das die auch für n+1 wahr ist.
Wie mache ich das?
Das muss mir mal jemand genaustens erklären.
Hab keinen Schimmer wie das gehen soll.
Gruß Chris. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1463
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. August, 2004 - 15:57: |
|
Hallo Chris
Wir substituieren wie Ferdi gesagt hat mit
t=x103/103
Dann erhalten wir
ò0 ¥ x103n+102e-x103/103 dx
=ò0 ¥ (103t)ne-t dt
Das sieht doch schon viel übersichtlicher aus 
Wir müssen zeigen, dass
ò0 ¥ (103t)ne-t dt =103n*n!
gilt.
Das machen wir mit Induktion. Induktionsanfang hast du ja schon. Wir machen den Induktionsschluss n->n+1 und dafür benutzen wir die Produktintegration:
ò0 ¥ (103t)n+1e-t dt
=[-(103t)n+1e-t]0¥+(n+1)ò0 ¥ 103n+1tne-t dt
Der Term in den eckigen Klammern ist Null, das Integral kennen wir nach Induktionsvoraussetzung, also
=103(n+1)*ò0 ¥ (103t)ne-t dt
=103(n+1)*103nn!
=103n+1*(n+1)!
MfG
Christian
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1554
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. August, 2004 - 21:25: |
|
Hi Chris,
ein kleiner Hinweis sei mir noch erlaubt:
int[ e^(-t)*t^(x-1) dt] [0..inf]
ist sehr bekannt! Es gilt:
G(x) = int[ e^(-t)*t^(x-1) dt] [0..inf]
G(x) ist die Gammafunktion!
Für sie gelten einige interesannte Eigenschaften:
G(x+1) = x * G(x)
für x € N: G(x) = (x-1)!
Die Gammafunktion erweitert quasi die Fakultäten auf die reelen Zahlen, so kann man zum Beispiel zeigen:
G(1/2) = sqrt(pi)
(1/2)! = G(1,5) = 1/2*sqrt(pi)
Wahnsinn! Diese Funktion ist wirklich einen Blick wert!
mfg |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 961
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. August, 2004 - 11:13: |
|
Da Du ja die Substitution nach deiner Aussager nicht benutzen darfst, würde ich es mit partieller Integration probieren.
Wenn Du die korrekt durchführst, erhältst Du die Gleichung I(n)=1/(103(n+1)) * I(n+1)
Aus dieser Darstellung läßt sich dann die Formel mit Induktion leicht nachweisen.
|
