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Bestimmung der Integrale

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Integralrechnung » Bestimmung der Integrale « Zurück Vor »

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Chris80 (Chris80)
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Benutzername: Chris80

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 07-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. August, 2004 - 14:56:   Beitrag drucken

Hallo,
zur zeit peil ich mal wieder die einfachsten sachen nicht.

Man soll das folgende Integral bestimmen.

ò p-p cos(2x)dx

Rauskommen soll (1/2)*sin(2x)dx.
Aber ich nicht wie man darauf kommt.

Genau dasselbe ist bei der nächsten Aufgabe

ò p0 sin(3x)dx

und da soll rauskommen -(1/3)*cos(3x)dx. Warum?
Muss ganz einfach sein,aber ich komm nicht dauf.
Bitte mit erklärung usw.
Danke im Vorraus.
Gruß Chris
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1453
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. August, 2004 - 15:27:   Beitrag drucken

Hallo

Berechne das unbestimmte Integral mit der Substitutionsregel.
Substituiere z=2x; dz/2=dx
=>
ò cos(2x) dx =1/2*òcos(z) dz
=1/2*sin(z)=1/2*sin(2x)

Analog bei der anderen Aufgabe. Grenzen einsetzen kannst du dann ja noch selbst.

MfG
Christian
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Chris80 (Chris80)
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Benutzername: Chris80

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 07-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. August, 2004 - 18:07:   Beitrag drucken

So ähnlich steht das auch in meinem Buch aber ich peil das ja nicht das ist es ja gerade.
Wo kommt das (1/2) her? wie kommen die anderen Sachen zu Stande?

Die Substitutionsregel kenne ich, weiß aber voll nicht wie ich die anwenden soll.

Wer kann mir da weiterhelfen?
Außerdem hab ich noch ein Probelm mit dieser Aufgabe, bei der ich auch das Integral bestimmen soll.

ò(1/sin(x))

Lösung bekannt, Rechenweg völlig unklar.
Bitte um Hilfe.
BestemDank im Vorraus.
Gruß Chris
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1455
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. August, 2004 - 18:16:   Beitrag drucken

Hallo nochmal

Wir ersetzen bei deinem Integral erstmal 2x durch z. Die Funktion sin(z) sollte man nämlich integrieren können. Stammfunktion ist bekanntlich cos(z).
Man darf aber bei Integralen nicht einfach ersetzen. Das gibt natürlich Probleme mit unserem Differential dx. Bisher haben wir nämlich nur
ò sin(2x) dx = ò sin(z) dx
Damit da dz steht machen wir folgendes:

Wir haben ja z=2x. Das differenzieren wir einfach nach x. Also haben wir
z'=dz/dx=2
<=> dz/2=dx
Also setzen wir dz/2 für dx ein(daher kommen die 1/2).
Und dann einfach ausrechnen und zurücksubstituieren wie es oben schon steht.

Mach am besten jetzt erstmal die zweite Aufgabe, die Lösung von deiner neuen Aufgabe ist nämlich schon bedeutend schwieriger als die von den ersten beiden Aufgaben.

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1536
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. August, 2004 - 20:32:   Beitrag drucken

Hi,

so schwer ist das ganze gar nicht, durch elementare Umformungen erhält man:

-ò 1/(1 - u^2) du

Das macht man direkt, oder mit Partialbruchzerlegung!

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1456
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 06. August, 2004 - 11:53:   Beitrag drucken

Hallo

Hier mal die Lösung der dritten Aufgabe.
Wir substituieren x=2*arctan(t). Dann ergibt sich
dx/dt=2/(1+t2)
Außerdem folgt mit dieser Substitution
sin(x)=2t/(1+t2) [Additionstheoreme]

Damit haben wir
òdx/sin(x)=ò 2/(1+t2)*(1+t2)/(2t) dt =ò dt/t =ln|t|=ln|tan(x/2)|

Die obige Substitution ist sehr nützlich. Es gilt nämlich auch cos(x)=(1-t2)/(1+t2).
Es lassen sich damit häufig Integranden, in denen cos(x) und sin(x) vorkommen, in rationale Funktionen umwandeln.

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4289
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 2004 - 10:16:   Beitrag drucken

Hi Chris, Hi Christian,

Betrifft:
das Integral des Cosecans (1/sin x), eine Lösung unter dem Motto
„matt in drei Zügen“.

Goniometrische Umformungen des Integranden führen sehr schnell zum Ziel.
Wir schreiben:
g(x)=1/sin x = 1 / [2 sin (½x) cos(½x)] = 1 / [2 tan (½x) {cos(½x)}^2]
= [ ½ * 1/{cos(½x)}^2 ] / tan (½ x).

Jetzt steht im Zähler [in der ersten eckigen Klammer] gerade die Ableitung
des Nenners f(x) = tan (½ x).
Somit ist nach einer bekannten Regel ln (f(x)) = ln (tan(½ x))
eine Stammfunktion der gegebenen Funktion g(x).


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Jule_h (Jule_h)
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Benutzername: Jule_h

Nummer des Beitrags: 231
Registriert: 03-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 2004 - 12:26:   Beitrag drucken

man kanns auch einfacher haben, Chris: du suchst eine Funktion, deren Ableitung cos (2x) ist. Das muss ja nun - auch ohne Substitutionsregel - in jedem Fall eine Funktion sein, die den Term sin (2x) enthält. Nachdem man diesen Term aber ja mit der Kettenregel ableiten muss entsteht bei der Ableitung ein Faktor 2 (vom Nachdifferenzieren, also von der inneren Ableitung). Um den "loszuwerden" brauchst du bei der Stammfunktion einen Faktor 0,5, die den Faktor 2 wieder kürzt, deswegen ist die Stammfunktion von cos(2x) also 0,5*sin (2x).
Ebenso geht es bei der Suche nach einer Stammfunktion von sin(3x): die muss in jedem Fall den Term cos(3x) enthalten, der beim Ableiten nach der Kettenregel einen Faktor 3 liefert, außerdem ein Minuszeichen, weil die Ableitung von cos x ja - sin x ist. Um diesen Faktor -3 also zu "kompensieren" braucht die Stammfunktion den Faktor -1/3.
Bei solchen relativ einfachen Funktionen ist es oft übersichtlicher, die Stammfunktion ohne Substitution zu finden.
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4293
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 2004 - 15:51:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Passend zur Sommerflaute folgt ein weiteres Goniometrie-Spiel mit
der Cosecansfunktion g(x) = 1/sin x.
Mit dem folgenden Verfahren erhalten wir dazu eine Stammfunktion,
in welcher keine halben Winkel auftreten.

Zur Sache:
wir erweitern den Bruch 1/sin x mit (1-cos x) und schreiben für die Eins
im Zähler (sin x)^2 + (cos x)^2.
Es kommt der Reihe nach:
g(x) = 1/sin x = [(sin x)^2 - cos x (1 - cos x) ] / [sin x (1 – cos x)]
= sin x / (1 – cos x) - [cos x / sin x ]

Wir erhalten zwei Brüche, die folgende Phänomene aufweisen:
der Zähler ist jeweils die Ableitung des Nenners.
Somit entstehen beim Integrieren gliedweise die natürlichen
Logarithmen der Nenner.

Das Resultat lautet:
G(x) = ln (1- cos x ) – ln sin x = ln [(1 - cos x) / sin x]
ist eine Stammfunktion von
g(x) = 1/cos x.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4294
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 2004 - 17:05:   Beitrag drucken

Hi


Korrektur:
am Schluss sollte es heissen:

....eine Stammfunktion von g(x) = 1 / sin x !

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1537
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 07. August, 2004 - 22:27:   Beitrag drucken

Hi megamath,

schön das du wieder dabei bist, vorallem in der Sommerflaute! Warst du im Urlaub?? Oder hast du eine Pause eingelegt?

Hier kommt noch meine Idee:

g(x) = 1/sin(x)

Man erweitere den Bruch mit sin(x)!

int[ sin(x) / sin(x)^2 dx ]
int[ sin(x) / ( 1 - cos(x)^2) dx ]

So dann cos(x) = u
==> -sin(x) dx = du

-int[ 1/(1-u^2) du ]

Die Stammfunktion lautet also bei mir:

G(x) = -artanh(cos(x))
G(x) = -(1/2)*{ln[1 + cos(x)] - ln[1 - cos(x)]}

Es sind sogar die Areafunktionen im Spiel! Mal sehen ob es noch eine mögliche Lösung gibt!

mfg
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Chris80 (Chris80)
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Benutzername: Chris80

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 07-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. August, 2004 - 13:00:   Beitrag drucken

Vielen Dank für die vielen und Detailreichen Nachrichten. Leider muss ich noch eine frage zu
zu der aufgabe: ò1/sin(x) stellen

Woher weiß ich das x= 2arctan(x) sein muss? Wie kommt man dahin? und warum ist t=tan(x/2)??????

Was als Lösung rauskommt kann ich mit Mathecad selber ausrechnen aber mich interessiert der rechenweg.
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1541
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. August, 2004 - 15:38:   Beitrag drucken

Hi,

das kommt von den Rationalisierungsformeln für sin, cos

Es gilt mit t = tan(x/2)

sin(x) = 2*t/(1 + t^2)

cos(x) = (1 - t^2)/(1 + t^2)

t = tan(x/2)
==> x = 2*arctan(t)
==> dx = 2/(1 + t^2) dt

Das vereinfacht viele Integrale mit sin cos etc...

mfg

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