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Assoziativität der symetrischen Diffe...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Sonstiges » Assoziativität der symetrischen Differenz « Zurück Vor »

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1195
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Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juli, 2004 - 12:00:   Beitrag drucken

Hallo Leute,

kann jemand mal bitte die Assoziativität der symetrischen Differenz nachrechnen?

Also nachrechnen, das

(ADB)DC=AD(BDC)

ist, wobei

ADB=(A vereinigt B)\(A gescnitten B) bzw.
ADB=(A\B)vereinigt (B\A)

ist?

Wenn möglich "zu Fuß" durchrechnen, es gäbe wohl noch ne andere möglichkeit über Indikatorfunktionen, Charakteristische funktionen es nachzuweisen....

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1196
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juli, 2004 - 13:18:   Beitrag drucken

Ach so, und dann noch folgendes:

Wie kann ich zeigen das die symetrische Differenz Definition von oben beide äquivalent sind?
Also wie folgt aus

(A vereinigt B)\(A geschnitten B) die Aussage
(A\B) vereinigt (B\A) ? Im Van Diagramm ist mir das klar, aber das ist ja kein formaler Beweis....

Wie beweise ich folgende Beziehung:

(ADB) geschnitten C=(A geschnitten C)D(B geschnitten C)

bzw.

A geschnitten (BD C)=A geschnitten B)D(A geschnitten C)

Würde man "geschnitten" durch "vereinigt" ersetzen würden beide Aussagen falsch werden...Gegenbeispiel???

Gruß N.

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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 861
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juli, 2004 - 13:59:   Beitrag drucken

(A u B)\(A n B) = (A\B) u (B\A)

mache aus dem einen Aussagenlogischen Ausdruck:

( x in A ) or ( x in B ) <= ( ( x in A ) and ( x in B ) ) =
not( ( x in A ) and ( x in B ) ) or ( x in A ) or ( x in B ) =
not( x in A ) or not( x in B ) or ( x in A ) or ( x in B ) =
( ( x in A ) => ( x in B ) ) or ( ( x in B ) => ( x in A ) =
( ( x in B ) <= ( x in A ) ) or ( ( x in A ) <= ( x in B ) =
( ( x in B ) <= ( x in A ) ) or ( ( x in A ) <= ( x in B ) =

das wird zu folgenden Mengenausdruck

(B\A) u (A\B)

Gruß,
Walter

Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1197
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juli, 2004 - 15:10:   Beitrag drucken

Hi Mainziman,

was bedeuten den die "<=" Pfeile??

ich komme irgendwie mit deinen Klammern nicht klar....

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1198
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juli, 2004 - 15:19:   Beitrag drucken

Also,

Seien A,B Teilmengen von X.

x aus ADB
={x aus X|x aus A vereinigt B und x nicht aus A geschnitten B}
={x aus X|x aus A und x aus B und (x nicht aus A oder x nicht aus B)}

soweit kann ich noch folgen.... und wie weiter?

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1199
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juli, 2004 - 15:44:   Beitrag drucken

ich meine, ich könnte ja jetzt folgendes machen:

={x aus X|x aus A und x nicht aus B oder (x aus B und x nicht aus A)}

woraus dan sofort:

(A\B)u(B\A)

folgen würde, nur diesr eine "Umformungsschritt" am Ende bereitet mir Bauchschmerzen, ob ich das wirklich so machen darf....

N.
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 862
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juli, 2004 - 16:05:   Beitrag drucken

Hi Nils,

<= ist einfach => in die andere Richtung

A \ B
not( ( x in A ) => ( x in B ) ) <-- des wäre in dem Fall des Richtige dafür gewesen;

daher wird das daraus
not( ( ( x in A ) or ( x in B ) ) => ( ( x in A ) and ( x in B ) ) ) =
not( not( ( x in A ) or ( x in B ) ) or ( ( x in A ) and ( x in B ) ) ) =
not( ( not( x in A ) and not( x in B ) ) or ( ( x in A ) and ( x in B ) ) ) =
not( ( not( x in A ) or ( x in A ) ) and ( not( x in A ) or ( x in B ) ) and ( not( x in B ) or ( x in A ) ) and ( not( x in B ) or ( x in B ) ) ) =
not( ( not( x in A ) or ( x in B ) ) and ( not( x in B ) or ( x in A ) ) ) =
not( not( x in A ) or ( x in B ) ) or not( not( x in B ) or ( x in A ) ) =
not( ( x in A ) => ( x in B ) ) or not( ( x in B ) => ( x in A ) ) =

und das entspricht jetzt

( A \ B ) u ( B \ A )

Mainzi Man,
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1200
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Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juli, 2004 - 17:06:   Beitrag drucken

Ich habe mir das so überlegt:

application/pdfsymdiff
symdiff.pdf (18.9 k)


geht das so?

und wie beweise ich den Rest?
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1684
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 01:40:   Beitrag drucken

so lala ...

in der letzten Zeile fehlen zwei \

ich vermisse jede Menge Klammern ... was geht vor, 'und' oder 'oder'?

die drei '<=>' sollen '=' sein.

nach welchen Regeln löst du die Klammern auf?
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1201
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 09:23:   Beitrag drucken

So, ich hoffe ich habe mit den Klammern nicht übertrieben....und alles korrigiert...

application/pdfsymdiff
symdiff.pdf (23.0 k)


zum Hintergrund der Aufgabe:

Es geht um den "Mengenring" (Pot(X),D,n), der ein kommtativer Ring mit Eins ist.

Dazu muss D als "+" eine abelsche Gruppe bilden, der Rest der Gruppeneigenschaften ist recht einfach nachzuweisen, aber die Assoziativität ist sehr schwirig.

n=geschnitten und stellt das "*" dar.
Die obigen formulierten Beziehungen zwischen D und n sind also nichts anderes als der Nachweis der Distributivgesetze, die man für ein Ring braucht.

N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1685
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 09:41:   Beitrag drucken

Sei x € (A u B) \ (A n B).
Dann ist x € A u B und nicht x € A n B.
Dann ist
1. Fall
x € A und nicht x € A n B

oder
2. Fall
x € B und nicht x € A n B

Im 1. Fall darf nicht x € B gelten, da ansonsten x € A n B wäre. Also x € A und nicht x € B. Somit x € A \ B.

Im 2. Fall folgt analog x € B \ A.

Zusammen:
x € (A \ B) u (B \ A).


Also gilt
(A u B) \ (A n B) C (A \ B) u (B \ A)

Zeige ähnlich
(A \ B) u (B \ A) C (A u B) \ (A n B)
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1202
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 10:53:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

mal schauen ob ich die "Rückrichtung" hinbekomme...

Sei x€(A\B)u(B\A)

x€A und nicht x€B oder x€(B\A)

1 Fall:

x€A oder x€(B\A)

daraus folgt: x€(A u B)

2 Fall:

nicht x€B oder x€(B\A)
daraus folgt: nicht x€(A n B)

zusammen ergeben Fall 1 und Fall 2:

x€(A u B)\(A n B)

was zu zeigen gewesen ist...

ist das so richtig?

N.

PS: Und wie sieht es mit den anderen Gesetzmäßigkeiten aus?


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Ingo (Ingo)
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 12:57:   Beitrag drucken

Leider nein, denn x€(A\B)u(B\A) bedeutet x€(A\B) oder x€(B\A) und nciht das, was Du an Fallunterscheidungen gemacht hast.

Sei x€(A\B)u(B\A) => x€(A\B) oder x€(B\A)
Fall 1: x€(A\B) => x€A und nicht(x€B) => x€(AuB) und nicht x€(AnB) => x€(AuB)\(AnB)
Fall 2: x€(B\A) läuft analog mit vertauschtem A und B
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1686
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 13:07:   Beitrag drucken

Hi Niels,

leider falsch geklammert!

Sei x € (A \ B) u (B \ A)

Dann x € A \ B oder x € B \ A

1. Fall: x € A \ B
Dann ist x € A und x !€ B. (!€ soll "kein Element aus" heißen)
Aus x € A folgt x € A u B und aus x !€ B folgt x !€ A n B
Insgesamnt also x € (A u B) \ (A n B)

2. Fall: x € B \ A
Analog folgt x € (A u B) \ (A n B)

##########################################

Mit den anderen Gesetzmäßigkeiten probier erst mal wieder selbst!
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1687
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 13:08:   Beitrag drucken

sic!
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Ingo (Ingo)
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 13:58:   Beitrag drucken

Dann sind wir uns ja einig Zaph
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1203
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 14:12:   Beitrag drucken

Ich will mal ein Ansatz versuchen:

Sei x€(ADB)DC

das ist Äquivalent zu:

x€((ADB)u C)\ ((ADB)n C)

x€(A DB)u C und x !€ (ADB)n C

(x€(ADB) oder (x€C))und x!€(ADB)n C

soweit erstemal richtig oder nicht? das man jetzt Fallunterscheidungen ansetzen könnte?

N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1688
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 14:37:   Beitrag drucken

Ich schätze, das wird so nix, weil du dich da verirren würdest.

Ich würde erst mal einen Zwischenschritt anpeilen. Zeige

(A D B) D C

=

A\(B u C) u B\(A u C) u C\(A u B) u (A n B n C)



(Beitrag nachträglich am 31., Juli. 2004 von zaph editiert)
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1204
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 15:39:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

...ich glaube bei dir fehlt auch irgendwo eine Klammer:

(ADB)DC
=((ADB)uC)\ ((ADB)nC)
=(((A u B)\(A n B)) u C)\ (((A u B)\(A n B)) n C)

so und wie geht es weiter, ich habe mit dem Differenzoperator immer ungemein schwirigkeiten, weil er ja weder Assoziativ, noch Kommutativ ist, und wie sich "\" mit "u" und "n" verträgt ist auch noch etwas undurchsichtig....
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1689
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 17:14:   Beitrag drucken

Ich habe die Konvention "\" vor "u" benutzt. Dann sind weitere Klammern überflüssig.

Ganz nützlich:

(A\B)\C = A\(B u C)

(A u B)\C = A\C u B\C

und (!)

A\(B D C) = A\(B u C) u (A n B n C)
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1205
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 18:16:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

könntest du mal die Beziehung:

a) (A\B)\C = A\(B u C)
b) A\(B D C) = A\(B u C) u (A n B n C)

beweisen, und mal ein paar mehr Hinweise geben wie ich die Assoziativität zeigen kann....irgendwie komme ich nicht zu Rande...

Beweis von: (A u B)\C = A\C u B\C

sei x € (A u B)\ C

<=>x € (A u B) und x !€ C
<=>(x € A oder x € B) und x !€ C
<=>(x € A und x !€ C) oder (x € B und x !€ C)
<=>x € ((A\C)u (B\C))

ist so ok oder nicht?



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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1690
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 18:55:   Beitrag drucken

Das ist gut so! Du hast die Distributivität von Und und Oder verwendet.

(A\B)\C = A\(B u C)

Sei x € (A\B)\C
<=>
x € A\B und x !€ C
<=>
(x € A und x !€ B) und x !€ C
<=>
x € A und (x !€ B und x !€ C)
<=>
x € A und x !€ B u C
<=>
x € A\(B u C)

A\(B D C) = A\(B u C) u (A n B n C)

Sei x € A\(B D C)
<=>
x € A und x !€ B D C
<=>
x € A und x !€ (B u C)\(B n C)
<=>
x € A und (x !€ B u C oder x € B n C)
<=>
(x € A und x !€ B u C) oder (x € A und x € B n C)
<=>
x € A\(B u C) oder x € A n B n C
<=>
x € A\(B u C) u (A n B n C)
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1206
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Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 20:00:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

ist ja toll...dies Mengenoperatoren sind was echt faszinierendes...

nur leider weis ich immer noch nicht wie ich den Rest beweisen soll (Assoziativität, Distributivgesetze vom Mengenring)

Könntest du etwas konkreter werden?

N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1691
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Juli, 2004 - 21:45:   Beitrag drucken

Okay, dann hier auch noch der letzte Schritt für die Assoziativität.

(A D B) D C = A D (B D C)

Zeige hierzu

(A D B) D C = A\(B u C) u B\(A u C) u C\(A u B) u (A n B n C)

Aus der Kommutivität von D, u und n folgt dann auch

A D (B D C) = A\(B u C) u B\(A u C) u C\(A u B) u (A n B n C)

und damit die Behauptung.

(A D B) D C
= (A D B)\C u C\(A D B)
= (A\B u B\A)\C u C\(A D B)
= (A\B\C u B\A\C) u C\(A D B)
= (A\(B u C) u B\(A u C)) u (C\(A u B) u (A n B n C)) (siehe oben)
q.e.d.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1207
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 08:33:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

mal sehen ob ich die andere Richtung hinbekomme:

AD(BD C)
=A\ (BD C)u (BD C)\ A
=A\ (B D C) u (B\C u C\B)\ A
=A\(B u C) u (A n B n C) u ((B\C)\A u (C\B)\A)
=A\ (B u C) u (A n B n C) u ((B\ (A u C) u C\ (A u B)

Da wir ja nur "u" haben können wir so umsortieren, das dein obiges Ergebnis tatsächlich zu stande kommt....

Oder habe ich irgendwo ein Fehler gemacht?

Jetzt fehlen nur noch die Distributivgesetze...

N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1692
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 10:21:   Beitrag drucken

Genau! Obwohl das jetzt eigentlich überflüssig war. Denn D ist ja auch kommutativ.

Also
A D (B D C) = (B D C) D A
= ...
dann weiter nach dem bereits gezeigten mit vertauschten Rollen für A, B und C und schließlich die Kommutativität von u und n ausnutzen.

Jetzt fehlen noch die Distriutivgesetze ...

Bekommst du das jetzt selbst hin?
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1208
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 15:03:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

leider bekomme ich die Distributivgesetze immer noch nicht hin, da ich meist nicht entscheiden kann welche definition von D für meine Beweiszwecke die richtige ist...

Sei x € (AD B)n C
=x € (AD B) und x € C

was setze ich nun für D ein, wenn ich beide Definitionen ausprobiere komme ich irgendwie nicht weiter...

N.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1693
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 15:18:   Beitrag drucken

Fang besser mit dem komplizierteren Term an und versuche den zu vereinfachen; also

(A n C) D (B n C) = ...

Beweise vorher und benutze dann
(A n C)\(B n C) = (A\B) n C
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1209
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 16:17:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

wie beweise ich denn (A n C)\(B n C) = (A\B) n C

sei x € (A n C)\(B n C)
<=> x € (A n C) und x !€ (B n C)

soll ich nun irgendwelche Fallunterscheidungen machen oder wie geht es dar weiter?

ohne dies "nützlichen Beziehungen" sind solche Mengenbeweise gar nicht so einfach....


N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1694
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 16:39:   Beitrag drucken

Nun denn ..

x € A n C <=> x € A und x € C

x !€ B n C <=> x !€ B oder x !€ C

Also
x € A n C und x !€ B n C
<=>
(x € A und x € C) und (x !€ B oder x !€ C)
<=> (da "und" assoziativ)
x € A und (x € C und (x !€ B oder x !€ C))
<=> (da "und/oder" distributiv)
x € A und ((x € C und x !€ B) oder (x € C und x !€ C))
<=> (da (x € C und x !€ C) stets falsch ist)
x € A und (x € C und x !€ B)
<=> (da "und" assoziativ und kommutativ)
(x € A und x !€ B) und x € C
<=>
x € (A\B) n C

Alternativer Beweis:

(A n C)\(B n C)
= (A n C) n (B n C)C
= (A n C) n (BC u CC) nach de Morgan
= (A n C n BC) u (A n C n CC) nach Distributivgesetz
= A n C n BC da C n CC = leere Menge
= A n BC n C
= (A\B) n C


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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 16:43:   Beitrag drucken

A \ B
entspricht
not( ( x in A ) => ( x in B ) )

daher

not( ( ( x in A ) and ( x in C ) ) => ( ( x in B ) and ( x in C ) ) ) =
not( not( ( x in A ) and ( x in C ) ) or ( ( x in B ) and ( x in C ) ) ) =
not( ( not( x in A ) or not( x in C ) ) or ( ( x in B ) and ( x in C ) ) ) =
not( not( x in A ) or not( x in C ) or ( ( x in B ) and ( x in C ) ) ) =
not( ( not( x in A ) or not( x in C ) or ( x in B ) ) and ( not( x in A ) or not( x in C ) or ( x in C ) ) ) =
not( not( x in A ) or not( x in C ) or ( x in B ) ) =
( ( x in A ) and ( x in C ) and not( x in B ) ) =
( ( x in A ) and not( x in B ) and ( x in C ) ) =
( not( not( x in A ) or not( not( x in B ) ) ) and ( x in C ) ) =
( not( not( x in A ) or ( x in B ) ) and ( x in C ) ) =
( not( ( x in A ) => ( x in B ) ) and ( x in C ) ) =

und das entspricht

( A \ B ) n C

qed

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Niels2 (Niels2)
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Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 17:55:   Beitrag drucken

Hi Zaph und Mainziman,

sei also x € (A n C)D (B n C)

<=> x € ((A n C)\(B n C)) u ((B n C)\(A n C))
<=> x € ((A\B)n C) u ((B\A)n C)
<=> x € ((A\B) u (B\A))n C
<=> x € (AD B) n C

und das war das Distributivgesetz...richtig???

reicht der nachweis von nur einem Distributivgesetz? ich denke schon, da ja D und n kommutativ sind...

N.
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 864
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 18:01:   Beitrag drucken

ich verstehe eure Beziehungen ohne Mengenarithmetiksymbol nicht

was ist (AD B)? etwa (A u D u B) ?
Mainzi Man,
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1211
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 18:12:   Beitrag drucken

Hi Mainziman was bei dir wahrscheinlich als "D" auftaucht ist bei uns das "Dreieck" (Triangel) zeichen für die symetrische Differenz. \greek{D}

Du hast wahrscheinlich probleme mit den Sonderzeichen (grichische Symbole)

N.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 18:29:   Beitrag drucken

Well done, Niels!

Aber das zweite D-Gesetz muss wohl auch noch explizit bewiesen werden. Oder wie willst du es anhand der Kommutativgesetze herleiten?
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Niels2 (Niels2)
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Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 19:21:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

genau das hatte ich vor:

weil "n" kommutativ ist sonst rechne ich "zu Fuß" durch:

sei also x € (A n B)D (A n C)

<=> x € ((A n B)\(A n C)) u ((A n C)\(A n B))
<=> x € ((B\C)n A) u ((C\B)n A)
<=> x € ((B\C) u (C\B))n A
<=> x € (BD C) n A=A n (BD C)

damit wäre dann auch doch das zweite Distributivgesetz nachgerechnet oder?

Gruß N.





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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 19:59:   Beitrag drucken

Das kriegst du auch schneller hin:

(A n B) D (A n C)
= (B n A) D (C n A) (wegen kommutativ)
= (B D C) n A (wegen oben)
= A n (B D C) (wegen kommutativ)

Nein, du musst zeigen:

(A n B) D C = (A D C) n (B D C)


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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1213
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 20:25:   Beitrag drucken

Hi Zaph, ist das wirklich das 2. Distributivgesetz was du da meinst, was noch zu zeigen wäre? wenn ich mir D=+ und n=* vorstelle steht da ja

(A*B)+C=(A+C)*(B+C)

mir kommt das irgendwie merkwürdig vor...

Und außerdem wie soll ich das wieder am besten beweisen? gibt es da wieder so nette Hilfsbeziehungen die man kennen sollte oder nicht?

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1697
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 20:35:   Beitrag drucken

Dann probier doch anhand eines Bildchens, ob dieses Gesetz plausibel ist.

Falls ja, knobel doch mal ein bisschen selbst ;-)
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1214
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 21:05:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

ich glaub dir das schon, meine "Venn Diagramme blicke ich nicht mehr durch vor schrafuren....

Du bist lustig- knobeln tue ich an dieser Aufgabe nicht erst seit Freitag.... Und ich habe mich wirklich bemüht, ich dachte "wer immer strebed sich bemüht, den können wir erlösen"...
oder hast du sonst sorge das hier im Board sonst keine Arbeit mehr wäre...

Ich hätte da noch genügend offene Fragen aus 2 Semestern Mathestudium....

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 01. August, 2004 - 22:54:   Beitrag drucken

Hm, ein Venn-Diagramm aus drei Mengen ist doch wirklich nicht sooo kompliziert.

Dann erlöse ich dich mal mit einem einfachen Gegenbeispiel.

Setze A = {1}, B = {} (leere Menge), C = {1}.

Dann ist
(A n B) D C
= ({1} n {}) D {1}
= {} D {1}
= {1}

Und
(A D C) n (B D C)
= ({1} D {1}) n ({} D {1})
= {} n {1}
= {}

Also gilt dieses Distributivgesetz NICHT! Deine Intuition hat dich somit nicht getrübt.

Wie sieht es mit folgenden "Gesetzen" aus?

(A u B) D C = (A D C) u (B D C)
(A D B) u C = (A u C) D (B u C)

Bitte Beweis oder Gegenbeispiel!

(Beitrag nachträglich am 01., August. 2004 von zaph editiert)
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Niels2 (Niels2)
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Veröffentlicht am Montag, den 02. August, 2004 - 07:41:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

also es gilt:

(A u B)D C != (AD C) u (BD C)

Nehmen wir wieder A={1},B={},C={1} dann gilt

(A u B)D C
= ({1} u {})D{1}
= {1}D {1}
= {}

und

(AD C) u (BD C)
= ({1}D {1}) u ({}D {1})
= {} u {1}
= {1}

Beim 2. muss ich nochmal schauen,

Haben wir den wirkliche einen "Ring" wenn nur 1 Distributivgesetz gilt, oder war das gar kein Distributivgesetz was du meintest? Irgendwie hast du eben etwas Verwirrung gestiftet.

N.
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Niels2 (Niels2)
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Veröffentlicht am Montag, den 02. August, 2004 - 07:59:   Beitrag drucken

So, nun zur Zweiten Beziehung:

Es gilt:

(AD B) u C != (A u C)ßD (B u C)

Es sei wieder A={1},B={},C={1} dann gilt:

({1}D {}) u {1}
={1} u {1}
={1}

(A u C)D(B u C)
=({1} u {1})D ({} u {1})
={1}D {1}
={}

Also sind beide deiner Mengenbeziehungen falsch. (hätte mich auch sehr gewundert, wenn es mit "u" klappt...)

Damit haben wir wohl dieses Thema erfolgreich abgefrühstückt.

N.



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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1699
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Veröffentlicht am Montag, den 02. August, 2004 - 17:28:   Beitrag drucken

Alles bestens!

In einem Ring ist nur ein D-Gesetz erforderlich. Aber das muss ja nicht heißen, dass das andere verboten ist. Bei den Mengenoperationen "u" und "n" gelten ja auch beide D-Gesetze.

Gruß und bis zum nächten Mal
Z.

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