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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1525
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Juli, 2004 - 09:55: | 
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Hi,
kann mir einer hier auf die Sprünge helfen:
Sei t = sum[ 1/n^2 ] [n=1..infinity]
Man bestimme den Wert der Reihe:
1 - 1/2^2 - 1/4^2 + 1/5^2 + 1/7^2 - 1/8^2 - 1/10^2 ...
in Abhängigkeit von t!
Mir ist es bis jetzt nicht gelungen Zeta(2) so umzuordnen. Mir ist aufgefallen, das alle 3er im Nenner abgezogen werden, also das:
sum[ 1/(3n)^2 ] [n=1..infinity] = 1/9*t
fehlen, aber mehr schaffe ich nicht. Wie bekomme ich das dann mit den alternierden Vorzeichen hin?
mfg |
Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1173
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Juli, 2004 - 18:37: |
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Hi Ferdi,
gute Frage die Lösung dieser Aufgabe würde mich auch mal interessieren.
Warscheinlich ist diese Reihe ein Speziller Funktionswert einer in einer Reihe entwickelten Funktion. Preisfrage: Welche Funktion ist es und an welcher Stelle berechnet man mit dieser Reihe den Funktionswert?
Marple gibt bei den ersten Gliedern die du hingeschrieben hast irgendeine irrationale Zahl.
beginnend mit 0,7... .
Ich frage mich nur was das mit der Umordnung zu tun hat. Da wird ja nix "umgeordnet". das ist eine völlig neue Reihe die mit Zeta(2) nur "bedingt" in Zusammenhang steht.
Es ist auch egal wie du "Zeta(2)" umordnest, denn die Famillie 1/n^2 ist "summierbar". Das heißst sie ist Invariant gegen Umordnung. Du kannst also die Glieder der Reihe in beliebiger Reihenfolge aufsummieren ohne das sich der Grenzwert ändert.
Dieses Phänomen der "Summierbarkeit" ist keineswegs selbstverständlich. Das ist ja gerade das beschissene an "Reihen". Im unendlichen gilt nämlich i.A. nicht die Kommutativität.
Also Bücher die nur "Reihen" abhandeln sind äußerst schlecht....
Wenn du willst kann ich dir ein Beispiel geben einer Reihe, wo sich bei Umordnung der Grenzwert ändert....
Gruß N. |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 823
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 00:37: |
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1 - 1/2^2 - 1/4^2 + 1/5^2 + 1/7^2 - 1/8^2 - 1/10^2 ... <-- kannste da ein paar Glieder mehr hinschreiben, so komm ich nur bedingt auf ein Bildungsgesetz, sonst hätt ich einfach gesagt
1 + SUM [i=0,n] [ -1/(6i+2)^2 - 1/(6i+4)^2 + 1/(6i+5)^2 + 1/(6i+7)^2 ] =
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1526
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 01:45: |
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Hi,
also Umordnung ist vielleicht unzutreffend, mir fiel aber nichts besseres ein, soll doch der Wert der Neuen Reihe durch t [= Zeta(2)] ausgedrückt werden!
Die Reihe geht so weiter:
...-1/10^2 + 1/11^1 + 1/13^2 - 1/14^2 - 1/16^2 + 1/17^2 + 1/19^2...
Es folgen also immer zwei negative Brüche zwei positiven Brüchen! Und wie schon gesagt, die Vielfachen von 1/3 entfallen!
mfg |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 824
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 02:03: |
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gut, dann fällt mir auf, daß die Glieder mit positiven Vorzeichen, alle ungerade sind und die Glieder mit negativen Vorzeichen alle gerade;
daher
man nehme Zeta(2) subtrahiere davon 1/9 von Zeta(2) [damit fallen die Glieder weg, welche durch 3 teilbar sind] sowie 1/2 von Zeta(2) [damit werden die geraden glieder wegsubtrahiert] und addiere 1/36 von Zeta(2) [damit fallen die zuviel wegsubtrahierten durch 6 teilbaren weg]
= Zeta(2) - Zeta(2)/9 - Zeta(2)/2 + Zeta(2)/36
= (1 - 1/9 - 1/2 + 1/36) * Zeta(2)
= (36 - 4 - 18 + 1)/36 * Zeta(2)
= 15/36 * Zeta(2) = 5/12 * Zeta(2)
Das müßte es eigentlich sein 
Mainzi Man,
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1174
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 09:41: |
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Also, wenn ich die Reihe bis 1/19^2 mit Marple berechnen lasse, dann bekomme ich ein Wert von
0.8163314138.
Und (5/12)*Zeta(2)=(5/72)*pi^2=0,685389194
da liegt noch eine ordentliche differenz zwischen. Ist die obige Reihe überhaupt konvergent??? Schwer zu beurteilen, wenn man nicht das Bildungsgesetz kennt.
N.
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1527
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 10:48: |
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Hi,
meine Betrchtungen gehen auch schon zu folgendem über:
sum[ (-1)^(n+1)/n^2 ] [n=1..infinity] = pi^2/12
Das haben wir hier mal mit Dirichlet-Reihen bewiesen. Ob man das benutzen kann??
Übrigen komme ich für die Reihe bis 1/19^2 auf:
sum ~ 0,733687
dendiere damit zu:
sum ~ 4/9*t
mfg
PS: Ist hier das Sommerloch ausgebrochen? Das darf doch nicht sein... |
Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1177
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 11:45: |
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Hi Ferdi,
bist du dir sicher mit pi^2/12 ???
Bei mir spuckt marple wieder was mit Hypergeometrische Reihe aus.... |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 825
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 12:36: |
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Hi Niels,
die Konvergenz kannst ganz einfach zeigen,
Du hast ja bei den Gliedern folgende Vorzeichen
+ - - + + - - + + - -
du addierst dabei jeweils die 2 glieder mit gleichem vorzeichen zusammen, hast damit eine reihe
b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + b_5 -+ ....
die b_i bilden eine nullfolge zum einem und
b_i > b_(i+1) gilt zum anderen und damit ist des nach dem satz von Leibnitz für alternierende reihen eine Konvergente Reihe;
ich hab mal meinen Compi angeworfen und bis 10000^2 berechnet und komme dabei auf rund 0.731082;
hier das Progi im
Quellcode
 , irgendwo scheint mein Rezept nicht hinzuhauen, nochmal
Zeta(2) = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 + 1/7^2 + 1/8^2 + 1/9^2 + 1/10^2 + ...
die durch 3 teilbaren ergeben 1/9*Zeta(2)
Zeta(2)-1/9*Zeta(2) = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + 1/8^2 + 1/10^2 + ...
die verbleibenden geraden Glieder doppelt abziehen, dann ergibt das unsere Reihe
die geraden Glieder von Zeta(2) ergeben sich mit 1/4*Zeta(2), da wir aber die Glieder durch 3 teilbar nicht mehr haben diese davon vorher abziehen; und gerade zahlen durch 3 teilbar sind durch 6 teilbar, daher: 1/4*Zeta(2)-1/36*Zeta(2)
= Zeta(2) - Zeta(2)/9 - 2*(Zeta(2)/4 - Zeta(2)/36)
= (1 - 1/9 - 2/4 + 2/36) * Zeta(2)
= (18 - 2 - 9 + 1)/18 * Zeta(2)
= 8/18 * Zeta(2) = 4/9 * Zeta(2)
Zeta(2) = pi^2/6 => 4/9 * Zeta(2) = 4/9 * pi^2/6 = 2/27 * pi^2 ~ 0,731082
Scheint perfekt zu passen
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 827
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 14:41: |
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@Niels,
das pi^2/12 kannste trivial zeigen:
1/1^2 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + 1/5^2 - 1/6^2 + ... =
1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 + ... - 1/(2^2*1^2) - 1/(2^2*2^2) - 1/(2^2*3^2) =>
Zeta(2) - 2/2^2*Zeta(2) = Zeta(2)/2 = pi^2/12
@Ferdi: Deine Abschätzung bestätigt meine Berechnung
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1528
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 15:00: |
|
Hi,
man kann auch ganz allgemein zeigen:
E(s) = (1 - 2^(1-s))*Z(s)
Z(s) = Riemannsche Zetafunktion
E(s) = Dirichletsche Etafunktion
Man setze einfach s = 2. Mit diesen Formeln kann man auch ein paar nette Integrale berechnen!
@ Mainziman: Besten Dank für deine Lösung! Ich hatte immer vergessen, das man bei den Geraden, die durch 6 teilbaren schon weg waren...
mfg |
Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1178
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 19:31: |
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Etafunktion???
noch nie von Gehört, wie ist die den genau definiert, wenn man fragen darf???
Tolle Spielerei mit dieser Reihe....
Gruß N. |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1529
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 20:27: |
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Hi Niels,
Dirichletsche Etafunktion:
h(s) = sum[ (-1)^(k-1) / k^s ] [k=1..infinity]
mfg |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 829
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 21:07: |
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mit dem großen Unterschied, daß eta(1) konvergent ist, aber zeta(1) nicht; von daher
kann
E(s) = (1 - 2^(1-s))*Z(s)
nicht stimmen?
Mainzi Man,
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1530
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 21:27: |
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Hi,
Mainzi Man gut aufgepasst:
Ich habe nicht meine ganze Unterlagen hier rein geschriben, es gilt:
h(0) = 1/2
h(1) = ln(2)
Die Formel gilt für s > 1!
mfg
(Beitrag nachträglich am 18., Juli. 2004 von tl198 editiert) |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 830
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 21:40: |
|
also entweder ich hab nicht aufgepasst, aber
h(0) = +1 -1 +1 -1 +1 -1 ....
und des is sicher nicht konvergent, oder?
Mainzi Man,
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Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 21:40: |
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Hi Ferdi,
wenn du schon so profunde Kenntnisse über die Etafunktion hast, dann könntest du doch mal die Beziehung zwischen Eta und Zetafunktion von oben herleiten?
Ich habe im Internet gesucht, aber nicht viel in der Richtung über die Etafunktion herausbekommen.
N. |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 21:51: |
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Hi Niels, des is trivial herzuleiten
Zeta(n) = 1/1^n + 1/2^n + 1/3^n + 1/4^n + ...
die geraden Glieder der Zeta(n)fkt errechnen sich mit 1/2^n * Zeta(n), und genau des doppelte ziehste von Zeta(n) ab um Eta(n) zu bekommen
daher Eta(n) = Zeta(n) * ( 1 - 2/2^n ) bzw.
Eta(n) = ( 1 - 2^(1-n) ) * Zeta(n)
Gruß,
Walter
p.s. Ferdi jetzt is ma die Beziehung klar, für n = 1 gilt sie nicht
Mainzi Man,
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1183
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 07:47: |
|
Hi Mainziman,
jetzt ist mir das auch klar...
Aber an das "doppelte Abziehen" musste ich mich gewöhnen.
Na ja, Was für nette Eigenschaften hat diese Funktion denn?
Wie kommt man auf die Werte 1/2 und ln(2) für 0 bzw. 1 ?
Ich denke die Werte gelten nur für s bzw. n>1 ?
N. |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 832
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 08:01: |
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Hi Niels,
Eta(0) ist wie Zeta(0) nicht definiert
Eta(1) ist die alternierende harm. Reihe, welche
mit Limes = ln(2) konvergiert
Zeta(1) ist die alt bekannte harm. Reihe, welche divergent ist
Gruß,
Walter
p.s. das "doppelte Abziehen" hat bei Eta(1) fatale folgen: inf - inf
(Beitrag nachträglich am 19., Juli. 2004 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1531
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| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 14:23: |
|
Hi,
wie ich oben schon sagte gilt:
h(0) = 1/2
Weil z = -1/2 [man wills kaum glauben]
Man kann aber auch direkt h(0) berechnen und zwar so:
h(s) = sum[ (-1)^(k-1)/k^s ] [k=1..inf]
h(0) = sum[ (-1)^(k-1) ] [k=1..inf]
Betrachten wir nun:
f(x) = sum[ (-1)^(k-1) * x^k ] [k=1..inf]
f(x) = -1 * sum[ (-1)^k * x^k ] [k=1..inf]
f(x) = -1* ( -x / (x+1) )
f(x) = x/(1+x)
f(1) = 1/2 = sum[ (-1)^(k-1) ] [k=1..inf]
Daher h(0) = 1/2 und daraus z(0) = -1/2!
Wir können sogar h(-1) und daraus z(-1) bestimmen!
Es lässt sich noch vieles schönes über diese Funktion sagen! Z.b die Ableitungen in 0, Verbindung zu den Polylogarithmischen Funktionen etc...
mfg |
Niels2 (Niels2)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 15:09: |
|
Hi Ferdi, ist ja hochinteressant,
was ist den Zeta(-1)? Marple sagt dazu nur "Zeta(-1)"....
N |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 833
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 16:13: |
|
Hi Ferdi,
da kann was nicht stimmen
Zeta(0) = 1/1^0 + 1/2^0 + 1/3^0 + 1/4^0 + ... = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ ...
und des is sicher divergent
und bei Eta(0) verhält es sich analog!
Dein Ansatz mit f(x) ist was anderes du steigerst da bei gleicher Basis die Exponenten => Zeta und Eta steigern aber die Basis bei gleichem Exponenten!
Also Ferdi, wie soll des gehen; die harmonische Reihe ist doch divergent oder, und genau des is Zeta(1)!
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1532
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| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 16:17: |
|
Hi Niels,
um z(-1) zu bestimmen gehen wir wieder den Umweg über h(-1)
Es gilt:
h(-1) = sum[ (-1)^(k-1)*k ] [k=1..inf]
Betrachten wir nun wieder:
f(x) = sum[ (-1)^(k-1)*k*x^k ] [k=1..inf]
f(x) = -x*sum[ (-1)^k*k*x^(k-1)] [k=0..inf]
f(x) = -x*{sum[ (-1)^k*x^k] [k=0..inf]}'
f(x) = -x*{ 1/ (1+x) }'
f(x) = x/(1+x)^2
f(1) = 1/4
Daraus folgt:
h(-1) = sum[ (-1)^(k-1)*k ] [k=1..inf] = 1/4
Und somit:
z(-1) = -1/12
Nette Werte für diese Funktion, man kann damit alles bestimmen, man könnte auch die analytische Fortsetzung nutzen, es gilt:
z(1-x) = 2^(1-x)*p^(-x)*G(x)*cos(px/2)*z(x)
Voila, setze x = 2 ...
mfg |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 834
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 16:25: |
|
nachtrag: Ferdi, schau mal auf
Riemann-Zeta in Mathworld
Mainzi Man,
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1533
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| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 17:12: |
|
Hi,
damit ist ja alles geklärt. Da steht ja alles ganz ausführlich! Besten Dank für den Link Mainzi.
Über mein Reihe muss ich wirklich noch mal nachdenken! Wenn ich x=1 setzen divergiert die Reihe. Da ist mir auf die schnelle ein kleiner Fehlschuss unetrlaufen, aber ma kanns ja trotzdem beweisen, s.Mathworld:
Zu meiner Reihe ein kleines Zitat aus "Analysis I, W.Walter":
"So führt schon die geometrische Reihe
1 - x + x^2 - x^3 + x^4... = 1/(1+x)
für x = 1 auf die damals viel diskutierte Reihe
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1... = 1/2.
Das Ergebniss steht für Leibnitz außer Zweifel, hier findet sein Stetigkeitsgesetz Anwendung, dass bei Größen (hier x) das ausgeschlosene letzte (hier +1) als eingeschlossen betrachtet werden könne. Für Jakob Bernoulli ist es ein 'nicht unelegantes Paradoxon'. Guido Grandi schliesslich, Mönch ubnd Professor der Philosphie in Pisa, fasst je zwei aufeinandefolgende Glieder der Reihe zusammen, erhält so die Reihe:
0 + 0 + 0 +... = 1/2
und bringt dies mit der Schöpfung de Welt aus dem Nichts in Verbindung. Euler vertritt und verteidigt den formalen Standpunkt, dass die ntwicklung (etwa der geometrischen Reihe) unter allen Umständen gelte...."
Das wars dann für mich hier! Mein Aufgabe ist ja eh schon lange gelöst
mfg |
