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Eine Umordnung von Zeta(2)

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Eine Umordnung von Zeta(2) « Zurück Vor »

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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1525
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Veröffentlicht am Samstag, den 17. Juli, 2004 - 09:55:   Beitrag drucken

Hi,

kann mir einer hier auf die Sprünge helfen:

Sei t = sum[ 1/n^2 ] [n=1..infinity]

Man bestimme den Wert der Reihe:

1 - 1/2^2 - 1/4^2 + 1/5^2 + 1/7^2 - 1/8^2 - 1/10^2 ...

in Abhängigkeit von t!

Mir ist es bis jetzt nicht gelungen Zeta(2) so umzuordnen. Mir ist aufgefallen, das alle 3er im Nenner abgezogen werden, also das:

sum[ 1/(3n)^2 ] [n=1..infinity] = 1/9*t

fehlen, aber mehr schaffe ich nicht. Wie bekomme ich das dann mit den alternierden Vorzeichen hin?

mfg
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1173
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Veröffentlicht am Samstag, den 17. Juli, 2004 - 18:37:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

gute Frage die Lösung dieser Aufgabe würde mich auch mal interessieren.

Warscheinlich ist diese Reihe ein Speziller Funktionswert einer in einer Reihe entwickelten Funktion. Preisfrage: Welche Funktion ist es und an welcher Stelle berechnet man mit dieser Reihe den Funktionswert?

Marple gibt bei den ersten Gliedern die du hingeschrieben hast irgendeine irrationale Zahl.
beginnend mit 0,7... .

Ich frage mich nur was das mit der Umordnung zu tun hat. Da wird ja nix "umgeordnet". das ist eine völlig neue Reihe die mit Zeta(2) nur "bedingt" in Zusammenhang steht.

Es ist auch egal wie du "Zeta(2)" umordnest, denn die Famillie 1/n^2 ist "summierbar". Das heißst sie ist Invariant gegen Umordnung. Du kannst also die Glieder der Reihe in beliebiger Reihenfolge aufsummieren ohne das sich der Grenzwert ändert.

Dieses Phänomen der "Summierbarkeit" ist keineswegs selbstverständlich. Das ist ja gerade das beschissene an "Reihen". Im unendlichen gilt nämlich i.A. nicht die Kommutativität.

Also Bücher die nur "Reihen" abhandeln sind äußerst schlecht....

Wenn du willst kann ich dir ein Beispiel geben einer Reihe, wo sich bei Umordnung der Grenzwert ändert....

Gruß N.
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 823
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 00:37:   Beitrag drucken

1 - 1/2^2 - 1/4^2 + 1/5^2 + 1/7^2 - 1/8^2 - 1/10^2 ... <-- kannste da ein paar Glieder mehr hinschreiben, so komm ich nur bedingt auf ein Bildungsgesetz, sonst hätt ich einfach gesagt

1 + SUM [i=0,n] [ -1/(6i+2)^2 - 1/(6i+4)^2 + 1/(6i+5)^2 + 1/(6i+7)^2 ] =

formula

Gruß,
Walter

Mainzi Man,
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1526
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 01:45:   Beitrag drucken

Hi,

also Umordnung ist vielleicht unzutreffend, mir fiel aber nichts besseres ein, soll doch der Wert der Neuen Reihe durch t [= Zeta(2)] ausgedrückt werden!

Die Reihe geht so weiter:

...-1/10^2 + 1/11^1 + 1/13^2 - 1/14^2 - 1/16^2 + 1/17^2 + 1/19^2...

Es folgen also immer zwei negative Brüche zwei positiven Brüchen! Und wie schon gesagt, die Vielfachen von 1/3 entfallen!

mfg
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 824
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 02:03:   Beitrag drucken

gut, dann fällt mir auf, daß die Glieder mit positiven Vorzeichen, alle ungerade sind und die Glieder mit negativen Vorzeichen alle gerade;

daher
man nehme Zeta(2) subtrahiere davon 1/9 von Zeta(2) [damit fallen die Glieder weg, welche durch 3 teilbar sind] sowie 1/2 von Zeta(2) [damit werden die geraden glieder wegsubtrahiert] und addiere 1/36 von Zeta(2) [damit fallen die zuviel wegsubtrahierten durch 6 teilbaren weg]

= Zeta(2) - Zeta(2)/9 - Zeta(2)/2 + Zeta(2)/36
= (1 - 1/9 - 1/2 + 1/36) * Zeta(2)
= (36 - 4 - 18 + 1)/36 * Zeta(2)
= 15/36 * Zeta(2) = 5/12 * Zeta(2)

Das müßte es eigentlich sein
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1174
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 09:41:   Beitrag drucken

Also, wenn ich die Reihe bis 1/19^2 mit Marple berechnen lasse, dann bekomme ich ein Wert von
0.8163314138.

Und (5/12)*Zeta(2)=(5/72)*pi^2=0,685389194

da liegt noch eine ordentliche differenz zwischen. Ist die obige Reihe überhaupt konvergent??? Schwer zu beurteilen, wenn man nicht das Bildungsgesetz kennt.

N.



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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1527
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 10:48:   Beitrag drucken

Hi,

meine Betrchtungen gehen auch schon zu folgendem über:

sum[ (-1)^(n+1)/n^2 ] [n=1..infinity] = pi^2/12

Das haben wir hier mal mit Dirichlet-Reihen bewiesen. Ob man das benutzen kann??

Übrigen komme ich für die Reihe bis 1/19^2 auf:

sum ~ 0,733687

dendiere damit zu:

sum ~ 4/9*t

mfg

PS: Ist hier das Sommerloch ausgebrochen? Das darf doch nicht sein...
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1177
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 11:45:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

bist du dir sicher mit pi^2/12 ???

Bei mir spuckt marple wieder was mit Hypergeometrische Reihe aus....
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 825
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 12:36:   Beitrag drucken

Hi Niels,

die Konvergenz kannst ganz einfach zeigen,

Du hast ja bei den Gliedern folgende Vorzeichen

+ - - + + - - + + - -

du addierst dabei jeweils die 2 glieder mit gleichem vorzeichen zusammen, hast damit eine reihe

b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + b_5 -+ ....

die b_i bilden eine nullfolge zum einem und
b_i > b_(i+1) gilt zum anderen und damit ist des nach dem satz von Leibnitz für alternierende reihen eine Konvergente Reihe;

ich hab mal meinen Compi angeworfen und bis 10000^2 berechnet und komme dabei auf rund 0.731082;

hier das Progi im
Quellcode

, irgendwo scheint mein Rezept nicht hinzuhauen, nochmal

Zeta(2) = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 + 1/7^2 + 1/8^2 + 1/9^2 + 1/10^2 + ...

die durch 3 teilbaren ergeben 1/9*Zeta(2)

Zeta(2)-1/9*Zeta(2) = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + 1/8^2 + 1/10^2 + ...

die verbleibenden geraden Glieder doppelt abziehen, dann ergibt das unsere Reihe

die geraden Glieder von Zeta(2) ergeben sich mit 1/4*Zeta(2), da wir aber die Glieder durch 3 teilbar nicht mehr haben diese davon vorher abziehen; und gerade zahlen durch 3 teilbar sind durch 6 teilbar, daher: 1/4*Zeta(2)-1/36*Zeta(2)

= Zeta(2) - Zeta(2)/9 - 2*(Zeta(2)/4 - Zeta(2)/36)
= (1 - 1/9 - 2/4 + 2/36) * Zeta(2)
= (18 - 2 - 9 + 1)/18 * Zeta(2)
= 8/18 * Zeta(2) = 4/9 * Zeta(2)

Zeta(2) = pi^2/6 => 4/9 * Zeta(2) = 4/9 * pi^2/6 = 2/27 * pi^2 ~ 0,731082

Scheint perfekt zu passen
Mainzi Man,
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 827
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 14:41:   Beitrag drucken

@Niels,

das pi^2/12 kannste trivial zeigen:

1/1^2 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + 1/5^2 - 1/6^2 + ... =
1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 + ... - 1/(2^2*1^2) - 1/(2^2*2^2) - 1/(2^2*3^2) =>

Zeta(2) - 2/2^2*Zeta(2) = Zeta(2)/2 = pi^2/12

@Ferdi: Deine Abschätzung bestätigt meine Berechnung

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1528
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 15:00:   Beitrag drucken

Hi,

man kann auch ganz allgemein zeigen:

E(s) = (1 - 2^(1-s))*Z(s)

Z(s) = Riemannsche Zetafunktion
E(s) = Dirichletsche Etafunktion

Man setze einfach s = 2. Mit diesen Formeln kann man auch ein paar nette Integrale berechnen!

@ Mainziman: Besten Dank für deine Lösung! Ich hatte immer vergessen, das man bei den Geraden, die durch 6 teilbaren schon weg waren...

mfg
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Niels2 (Niels2)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 19:31:   Beitrag drucken

Etafunktion???

noch nie von Gehört, wie ist die den genau definiert, wenn man fragen darf???

Tolle Spielerei mit dieser Reihe....

Gruß N.
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Tl198 (Tl198)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 20:27:   Beitrag drucken

Hi Niels,

Dirichletsche Etafunktion:

h(s) = sum[ (-1)^(k-1) / k^s ] [k=1..infinity]

mfg
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Mainziman (Mainziman)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 21:07:   Beitrag drucken

mit dem großen Unterschied, daß eta(1) konvergent ist, aber zeta(1) nicht; von daher
kann

E(s) = (1 - 2^(1-s))*Z(s)

nicht stimmen?
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Tl198 (Tl198)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 21:27:   Beitrag drucken

Hi,

Mainzi Man gut aufgepasst:
Ich habe nicht meine ganze Unterlagen hier rein geschriben, es gilt:

h(0) = 1/2
h(1) = ln(2)

Die Formel gilt für s > 1!

mfg

(Beitrag nachträglich am 18., Juli. 2004 von tl198 editiert)
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 830
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 21:40:   Beitrag drucken

also entweder ich hab nicht aufgepasst, aber
h(0) = +1 -1 +1 -1 +1 -1 ....
und des is sicher nicht konvergent, oder?
Mainzi Man,
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1181
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 21:40:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

wenn du schon so profunde Kenntnisse über die Etafunktion hast, dann könntest du doch mal die Beziehung zwischen Eta und Zetafunktion von oben herleiten?

Ich habe im Internet gesucht, aber nicht viel in der Richtung über die Etafunktion herausbekommen.

N.
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 831
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juli, 2004 - 21:51:   Beitrag drucken

Hi Niels, des is trivial herzuleiten

Zeta(n) = 1/1^n + 1/2^n + 1/3^n + 1/4^n + ...

die geraden Glieder der Zeta(n)fkt errechnen sich mit 1/2^n * Zeta(n), und genau des doppelte ziehste von Zeta(n) ab um Eta(n) zu bekommen

daher Eta(n) = Zeta(n) * ( 1 - 2/2^n ) bzw.
Eta(n) = ( 1 - 2^(1-n) ) * Zeta(n)



Gruß,
Walter

p.s. Ferdi jetzt is ma die Beziehung klar, für n = 1 gilt sie nicht


Mainzi Man,
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1183
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Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 07:47:   Beitrag drucken

Hi Mainziman,

jetzt ist mir das auch klar...

Aber an das "doppelte Abziehen" musste ich mich gewöhnen.

Na ja, Was für nette Eigenschaften hat diese Funktion denn?

Wie kommt man auf die Werte 1/2 und ln(2) für 0 bzw. 1 ?
Ich denke die Werte gelten nur für s bzw. n>1 ?

N.
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 832
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Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 08:01:   Beitrag drucken

Hi Niels,

Eta(0) ist wie Zeta(0) nicht definiert

Eta(1) ist die alternierende harm. Reihe, welche
mit Limes = ln(2) konvergiert

Zeta(1) ist die alt bekannte harm. Reihe, welche divergent ist

Gruß,
Walter

p.s. das "doppelte Abziehen" hat bei Eta(1) fatale folgen: inf - inf

(Beitrag nachträglich am 19., Juli. 2004 von mainziman editiert)
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Nummer des Beitrags: 1531
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Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 14:23:   Beitrag drucken

Hi,

wie ich oben schon sagte gilt:

h(0) = 1/2

Weil z = -1/2 [man wills kaum glauben]

Man kann aber auch direkt h(0) berechnen und zwar so:

h(s) = sum[ (-1)^(k-1)/k^s ] [k=1..inf]
h(0) = sum[ (-1)^(k-1) ] [k=1..inf]

Betrachten wir nun:

f(x) = sum[ (-1)^(k-1) * x^k ] [k=1..inf]
f(x) = -1 * sum[ (-1)^k * x^k ] [k=1..inf]
f(x) = -1* ( -x / (x+1) )
f(x) = x/(1+x)
f(1) = 1/2 = sum[ (-1)^(k-1) ] [k=1..inf]

Daher h(0) = 1/2 und daraus z(0) = -1/2!

Wir können sogar h(-1) und daraus z(-1) bestimmen!

Es lässt sich noch vieles schönes über diese Funktion sagen! Z.b die Ableitungen in 0, Verbindung zu den Polylogarithmischen Funktionen etc...

mfg
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Nummer des Beitrags: 1184
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Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 15:09:   Beitrag drucken

Hi Ferdi, ist ja hochinteressant,

was ist den Zeta(-1)? Marple sagt dazu nur "Zeta(-1)"....

N
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Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 16:13:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

da kann was nicht stimmen

Zeta(0) = 1/1^0 + 1/2^0 + 1/3^0 + 1/4^0 + ... = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ ...
und des is sicher divergent
und bei Eta(0) verhält es sich analog!

Dein Ansatz mit f(x) ist was anderes du steigerst da bei gleicher Basis die Exponenten => Zeta und Eta steigern aber die Basis bei gleichem Exponenten!

Also Ferdi, wie soll des gehen; die harmonische Reihe ist doch divergent oder, und genau des is Zeta(1)!

Gruß,
Walter
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Tl198 (Tl198)
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Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 16:17:   Beitrag drucken

Hi Niels,

um z(-1) zu bestimmen gehen wir wieder den Umweg über h(-1)

Es gilt:

h(-1) = sum[ (-1)^(k-1)*k ] [k=1..inf]

Betrachten wir nun wieder:

f(x) = sum[ (-1)^(k-1)*k*x^k ] [k=1..inf]
f(x) = -x*sum[ (-1)^k*k*x^(k-1)] [k=0..inf]
f(x) = -x*{sum[ (-1)^k*x^k] [k=0..inf]}'
f(x) = -x*{ 1/ (1+x) }'
f(x) = x/(1+x)^2
f(1) = 1/4

Daraus folgt:

h(-1) = sum[ (-1)^(k-1)*k ] [k=1..inf] = 1/4

Und somit:
z(-1) = -1/12

Nette Werte für diese Funktion, man kann damit alles bestimmen, man könnte auch die analytische Fortsetzung nutzen, es gilt:

z(1-x) = 2^(1-x)*p^(-x)*G(x)*cos(px/2)*z(x)

Voila, setze x = 2 ...

mfg
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Veröffentlicht am Montag, den 19. Juli, 2004 - 16:25:   Beitrag drucken

nachtrag: Ferdi, schau mal auf

Riemann-Zeta in Mathworld
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Tl198 (Tl198)
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Hi,

damit ist ja alles geklärt. Da steht ja alles ganz ausführlich! Besten Dank für den Link Mainzi.

Über mein Reihe muss ich wirklich noch mal nachdenken! Wenn ich x=1 setzen divergiert die Reihe. Da ist mir auf die schnelle ein kleiner Fehlschuss unetrlaufen, aber ma kanns ja trotzdem beweisen, s.Mathworld:

Zu meiner Reihe ein kleines Zitat aus "Analysis I, W.Walter":

"So führt schon die geometrische Reihe

1 - x + x^2 - x^3 + x^4... = 1/(1+x)

für x = 1 auf die damals viel diskutierte Reihe

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1... = 1/2.

Das Ergebniss steht für Leibnitz außer Zweifel, hier findet sein Stetigkeitsgesetz Anwendung, dass bei Größen (hier x) das ausgeschlosene letzte (hier +1) als eingeschlossen betrachtet werden könne. Für Jakob Bernoulli ist es ein 'nicht unelegantes Paradoxon'. Guido Grandi schliesslich, Mönch ubnd Professor der Philosphie in Pisa, fasst je zwei aufeinandefolgende Glieder der Reihe zusammen, erhält so die Reihe:

0 + 0 + 0 +... = 1/2

und bringt dies mit der Schöpfung de Welt aus dem Nichts in Verbindung. Euler vertritt und verteidigt den formalen Standpunkt, dass die ntwicklung (etwa der geometrischen Reihe) unter allen Umständen gelte...."

Das wars dann für mich hier! Mein Aufgabe ist ja eh schon lange gelöst

mfg

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