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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1511
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 22:00: | 
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Guten Abend allerseits,
heute hat mich auf der Arbeit folgende Frage beschäftigt:
sum[ 1 / binom( 2n , n ) ] [n=1..infinity]
oder mit Fakultäten:
sum[ (n!)^2 / (2*n)! ] [n=1..infinity]
Das die Reihe konvergiert, kann man leicht zeigen [ Quotientenkriterium, Sandwich-Lemma..].
Mich aber interessiert, ob man die Summe explizit berechnen kann, wie z.B. :
sum[ 1/n^2 ] [n=1..infinity] = pi^2/6
Numerisch komme ich nach 10 Faktoren zu ~ 0,7364!
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1514
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juli, 2004 - 12:09: |
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Hi,
wollte nur sagen, das ich eine mögliche Lösung gefunden habe! Es ist möglich die Summe explizit zu berechnen!
Auf Wunsch kann ich das hier mal publizieren!
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1444
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juli, 2004 - 12:32: |
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Hallo Ferdi
Mich würde deine Lösung interessieren
MfG
Christian |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1170
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juli, 2004 - 13:45: |
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Interessiert mich auch, auch wenn ich für derlei Spielerei im Moment wenig zeit habe....
In Knapp 2 Stunden habe ich Klausur, und kann gar nix... |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1516
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juli, 2004 - 23:04: |
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Hi Jungs,
leider muss ich den Beweis ein wenig verschieben. Aber er kommt!
Als kleiner Vorgeschmack hier der Wert S der Reihe:
S = (2*pi*sqrt(3) + 9)/27
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4276
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 08:37: |
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Hi Ferdi
Miss Marple findet für die Summe Deiner Reihe:
S =1/2 hypergeom ([1,2],[3/2],1/4)
~ 0,7363998585; dies stimmt mit Deinem Wert
weitgehend überein!
Wir sind gespannt auf Deine Herleitung!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1517
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 12:07: |
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Hi,
hier die versprochene Beweisidee, ich will aber zugeben das sie NICHT von mir stammt!
Man betrachte:
f(x) = sum[a(n) * x^n] [n=0..infinity]
mit a(n) = 1/binom(2n+2 , n+1)
Dann rechnet man nach das:
a(0) = 1/2
a(n) = (n+1)/(4n+2) * a(n-1)
Setzt man dies in f(x) ein, so erhält man nach kurzer Rechnung die DGL:
(4x - x^2)*f'(x) = (2x - 2)*f(x) + 1
Deren Lösung ergibt sich zu:
f(x) = 4*arcsin((1/2)sqrt(x))/[sqrt(4x-x^2)*(4-x)] + 1/(4-x)
Der gesuchte Wert ist dann f(1):
4*arcsin(1/2)/(sqrt(3)*3) + 1/3
2*pi*sqrt(3)/27 + 1/3
f(1) = [ 2*pi*sqrt(3) + 9 ]/27
Ein hübsches Ergebniss und eine Superidee, wie ich finde!
In welchem Zusammenhang steht dies mit deinem Ergebniss megamath? Kann Maple dieses hypergeom in diesen Ausdruck umwandeln?
mfg
(Beitrag nachträglich am 15., Juli. 2004 von tl198 editiert) |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1171
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 13:52: |
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würde mich auch interessieren, warum Marple hier versagt... |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1521
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 22:36: |
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Hi,
ein kurzer Nachtrag, die oben dargestellte Methode wird auch:
Erzeugende Funktion
genannt. Ganz so wie wir es vor kurzem hier im Forum mit den Fibonacci Zahlen hatten.
Ich bin auch immer noch an anderen "eleganteren" Lösungswegen oder Ideen interessiert!
mfg |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1172
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juli, 2004 - 07:40: |
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Hi Ferdi,
hast du die Methode bzw. die Lösung in irgendein Buch gefunden oder wo hast du das her???
Na ja, mal schauen ob ich solche netten Dinge erst in Analysis III oder Analysis IV lernen darf... |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1523
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juli, 2004 - 11:31: |
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Hi Leute,
ich habe mal ein wenig weitergeforscht:
hypergeom stellt wohl die Hypergeometrische Funktion dar! Sie ist eine Lösung der Gauss'schen DGL.
h(a,b;c;z) = 1 + (a*b)/(1*c) * z + (a*(a+1)*b*(b+1))/(1*2*c*(c+1)) * z^2 ...
Es gilt für |z|<1 und Re(c) > Re(b) > 0 :
h(a,b;c;z) = A * int[ t^(b-1)*(1-t)^(c-b-1)*(1-tz)^(-a) dt ] [0..1]
mit A = [ Gamma(c)/( Gamma(b)*Gamma(c-b) ]
In unserem Falle konvergiert das Integral leider nicht, da b > c, liefert uns aber komischerweise die untere Grenze 0 das gesuchte Ergebniss! Das unbestimmte Integral lässt sich nämlich auswerten!
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1451
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. August, 2004 - 21:38: |
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Hallo
Bin leider erst jetzt dazu gekommen die Lösung von Ferdi zu lesen. Habe dazu mal eine kleine Frage...
Der Anfang ist mir noch klar, aber dann kommt die Stelle als man die DGL löst [wie macht man das hier eigentlich ohne Maple? ]. Mein Problem ist, dass oben ja jetzt nur eine Lösung steht.
Es ist aber auch
f(x) = 4*arcsin((1/2)sqrt(x))/[sqrt(4x-x^2)*(4-x)] + 1/(4-x) + C/sqrt(x(4-x)^3)
eine Lösung mit einer Konstanten C.
Woher weiß ich, dass nur C=0 in Frage kommt? Ich müsste den Reihenwert doch schon kennen, damit ich C bestimmen kann?!
MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1535
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. August, 2004 - 16:14: |
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Hi Christian,
beachte das gelten muss g(0) = 1/2
Kurz ein Grenzwert, und man erhält C=0!
Es handelt sich also um ein AWP!
Die DGL lässt sich doch schön per Hand berechnen! Hast du schon alles von unserem schönen Exkurs vergessen??
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1454
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. August, 2004 - 18:07: |
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Hallo Ferdi
Vielen Dank, hab jetzt alles verstanden
Und die Reihe per Hand zu berechnen war wirklich nicht besonders schwer.
MfG
Christian |
