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Isomorphe Räume

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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1159
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 14:10:   Beitrag drucken

Hallo,

noch so eine (vielleicht dumme) Frage: aber

Sei F(x,y):={f:X->Y|f beschränkte Funktion}

Behauptung:

Die Räume
F(X x Y,Z)=F(X,F(Y,Z))

sind Isomprph. Wie sieht die Abbildung aus, von der ich zeigen müsste das sie eine Isometrie (Isomprphismus) ist???

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1439
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 00:42:   Beitrag drucken

Hi Niels

Sei f eine Funktion aus F(X x Y,Z). Definiere
fx: Y->Z durch fx(y)=f(x,y). Dann ist die Funktion F: X->F(Y,Z) definiert durch F(x):=fx eine Funktion aus F(X,F(Y,Z)). Definiere
j: F(X x Y,Z)->F(X,F(Y,Z)) durch j(f)=F [F wie oben].

j ist injektiv:
Angenommen j(f)=j(g)
Es folgt F=G, damit fx=gx und damit f=g.

j ist surjektiv:
Sei F aus F(X,F(Y,Z)). Es gelte F(x)=fx,wobei fxeine Funktion aus F(Y,Z) sei. Definiere f: X x Y -> Z durch f(x,y)=(F(x))(y)=fx(y).
Dann gilt j(f)=F.

Weiter j(f+g)=H, wobei H(x)=hx mit hx=(f+g)x zu setzen ist. Es gilt (f+g)x=fx+gx. Damit
j(f+g)=F+G=j(f)+j(g).

Analog zeigt man auch
j(fg)=fg

MfG
Christian
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1443
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 14:26:   Beitrag drucken

Hallo

Da ist in der letzten Zeile wohl was schief gelaufen. Soll natürlich heißen
j(fg)=j(f)j(g)

MfG
Christian

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