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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1130 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 21:04: |
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Hi, ich habe noch mal eine Frage zur Kompaktheit. Es ist doch so, das jede kompakte Menge beschränkt ist, weil ich sie endlich Überdecken kann (Def. Kompaktheit). Dagegen ist natürlich nicht jede beschränkte Menge Kompakt. Beispiel IR. IR=]-¥,¥[ ist beschränkt, aber wie man weis, nicht kompakt. sehe ich das richtig? |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1141 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 10:33: |
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eine Antwort auf meine vor Urzeiten gestellte Frage würde mich trotzdem immer noch brennend interessieren.... |
Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 139 Registriert: 06-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 16:39: |
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Moin Niels, wieso sollte IR beschränkt sein, bzw. in welcher Metrik? In der vom Betrag induzierten auf jeden Fall nicht... Ein einfaches Beispiel für eine beschränkte, nichtkompakte Menge ist ]0,1], da (1/n) (n aus IN) eine Folge in ]0,1] ist, die keine konvergente Teilfolge in ]0,1] besitzt. Gruß, DULL |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1433 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 17:00: |
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Hallo wieso sollte IR beschränkt sein, bzw. in welcher Metrik? Mit der trivialen Metrik ist IR beschränkt. Man hat dann allerdings keine Norm mehr und es gilt auch nicht mehr kompakt <=> beschränkt und abgeschlossen. MfG Christian |
Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 140 Registriert: 06-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 17:56: |
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Mit trivialer Metrik meint man d(x,x)=0, d(x,y)=1 für x ungleich y, oder? Dann ist es natürlich klar, das konnte ich nur aus dem Beitrag nicht sofort erkennen. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1149 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 19:56: |
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Jo, aber daruf wollte ich eigentlich nicht hinaus, mir war nur der Begriff "beschränkt" wichtig. Ich will mal so formulieren. 1) Aus der Überdeckungskompaktheit definition schließe ich, das jede kompakte Menge auch immer beschränkt ist. Ist das richtig? Das nicht jede Beschränkte Menge kompakt ist, ist klar, das haben wir sogar in der VL gemacht, nicht war Dull.... Ich formuliere mal meine Frage anders: Kennt jemand eine kompakte nicht abgeschlossene Menge? Heine- Borel sagt ja, das auf endlich dimensionalen Räumen abgeschlossen und beschränkt äquivalent zu Kompakt ist. Also müsste man wohl oder übelst mal wieder im unendlich dimensionalen gesucht werden.... Gruß N.
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Dull (Dull)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Dull
Nummer des Beitrags: 141 Registriert: 06-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 20:23: |
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Es gibt auch in unendlich-dimensionalen Vektorräumen keine kompakte, nichtabgeschlossene Menge, denn: Jede kompakte Menge ist vollständig (12.9) und jede vollständige Menge ist abgeschlossen (10.9). Die Einschränkung von Heine-Borel auf endlich-diemnsionale Vektorräume kommt daher, dass "abgeschlossen und beschränkt" nicht ausreicht, damit eine Menge kompakt ist. Gruß, DULL |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1152 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 20:28: |
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Hi Dull, Ach so... Tja...da habe ich wieder was dazu gelernt.... was fehlt den im unendlich dimensionalen noch für eine Bedingung von Kompaktheit? (wenn abgeschlossen und beschränkt nicht ausreichen...) Gruß N. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1436 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 17:26: |
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Hallo Mit trivialer Metrik meint man d(x,x)=0, d(x,y)=1 für x ungleich y, oder? Ja, genau was fehlt den im unendlich dimensionalen noch für eine Bedingung von Kompaktheit? (wenn abgeschlossen und beschränkt nicht ausreichen...) Im unendlich dimensionalen Räumen gilt: K ist kompakt <=> Jede Folge in K hat eine in K konvergente Teilfolge. MfG Christian |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1162 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 18:29: |
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Ach ja, im endlichdimensionalen ist ja "Kompakt" und Folgennkompakt das gleiche, das muss ja nicht sein.... ...im Unendlichdimensionalen.... |