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nochmal Kompaktheit

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Metrischer Raum/Topologie » nochmal Kompaktheit « Zurück Vor »

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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1130
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 11. Juni, 2004 - 21:04:   Beitrag drucken

Hi,

ich habe noch mal eine Frage zur Kompaktheit.

Es ist doch so, das jede kompakte Menge beschränkt ist, weil ich sie endlich Überdecken kann (Def. Kompaktheit).

Dagegen ist natürlich nicht jede beschränkte Menge Kompakt. Beispiel IR.

IR=]-¥,¥[ ist beschränkt, aber wie man weis, nicht kompakt.

sehe ich das richtig?
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1141
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 10:33:   Beitrag drucken

eine Antwort auf meine vor Urzeiten gestellte Frage würde mich trotzdem immer noch brennend interessieren....
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Dull (Dull)
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Benutzername: Dull

Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 16:39:   Beitrag drucken

Moin Niels,

wieso sollte IR beschränkt sein, bzw. in welcher Metrik? In der vom Betrag induzierten auf jeden Fall nicht...
Ein einfaches Beispiel für eine beschränkte, nichtkompakte Menge ist ]0,1], da (1/n) (n aus IN) eine Folge in ]0,1] ist, die keine konvergente Teilfolge in ]0,1] besitzt.

Gruß, DULL
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1433
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 17:00:   Beitrag drucken

Hallo

wieso sollte IR beschränkt sein, bzw. in welcher Metrik?

Mit der trivialen Metrik ist IR beschränkt. Man hat dann allerdings keine Norm mehr und es gilt auch nicht mehr
kompakt <=> beschränkt und abgeschlossen.

MfG
Christian
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Dull (Dull)
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Benutzername: Dull

Nummer des Beitrags: 140
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 17:56:   Beitrag drucken

Mit trivialer Metrik meint man d(x,x)=0, d(x,y)=1 für x ungleich y, oder?
Dann ist es natürlich klar, das konnte ich nur aus dem Beitrag nicht sofort erkennen.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1149
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 19:56:   Beitrag drucken

Jo, aber daruf wollte ich eigentlich nicht hinaus,

mir war nur der Begriff "beschränkt" wichtig.

Ich will mal so formulieren.

1) Aus der Überdeckungskompaktheit definition schließe ich, das jede kompakte Menge auch immer beschränkt ist. Ist das richtig?

Das nicht jede Beschränkte Menge kompakt ist, ist klar, das haben wir sogar in der VL gemacht, nicht war Dull....

Ich formuliere mal meine Frage anders:

Kennt jemand eine kompakte nicht abgeschlossene Menge?

Heine- Borel sagt ja, das auf endlich dimensionalen Räumen abgeschlossen und beschränkt
äquivalent zu Kompakt ist. Also müsste man wohl oder übelst mal wieder im unendlich dimensionalen gesucht werden....

Gruß N.
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Dull (Dull)
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Benutzername: Dull

Nummer des Beitrags: 141
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 20:23:   Beitrag drucken

Es gibt auch in unendlich-dimensionalen Vektorräumen keine kompakte, nichtabgeschlossene Menge, denn:

Jede kompakte Menge ist vollständig (12.9) und jede vollständige Menge ist abgeschlossen (10.9).

Die Einschränkung von Heine-Borel auf endlich-diemnsionale Vektorräume kommt daher, dass "abgeschlossen und beschränkt" nicht ausreicht, damit eine Menge kompakt ist.

Gruß, DULL
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1152
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 20:28:   Beitrag drucken

Hi Dull,

Ach so...

Tja...da habe ich wieder was dazu gelernt....

was fehlt den im unendlich dimensionalen noch für eine Bedingung von Kompaktheit? (wenn abgeschlossen und beschränkt nicht ausreichen...)

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1436
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 17:26:   Beitrag drucken

Hallo

Mit trivialer Metrik meint man d(x,x)=0, d(x,y)=1 für x ungleich y, oder?

Ja, genau :-)

was fehlt den im unendlich dimensionalen noch für eine Bedingung von Kompaktheit? (wenn abgeschlossen und beschränkt nicht ausreichen...)

Im unendlich dimensionalen Räumen gilt:
K ist kompakt <=> Jede Folge in K hat eine in K konvergente Teilfolge.

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1162
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 18:29:   Beitrag drucken

Ach ja,

im endlichdimensionalen ist ja "Kompakt" und Folgennkompakt das gleiche, das muss ja nicht sein....

...im Unendlichdimensionalen....

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